Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中,AB//CD,∠ABC=∠ADC,DE垂直于對角線AC，垂足是E,連接BE .

（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）若點E是AC的中點，判斷BE與AC的位置關系，并說明理由；

（3）若△ABE是等邊三角形，AD=,求對角線AC的長 .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE⊥AC，理由見解析；（3）AC＝

【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質得出∠ABC+∠DCB=180°，推出∠ADC+∠BCD=180°，根據平行線的判定得出AD∥BC，根據平行四邊形的判定推出即可；（2）求出AD=DC，根據菱形的判定得出四邊形ABCD是菱形，根據等腰三角形的性質得出即可；（3）根據等邊三角形的性質得出AB=AE，∠BAC=60°，求出∠DCE=∠BAE=60°，求出CD=2EC，設CE=x，則AB=DC=AE=2x，根據勾股定理得出方程，求出x，即可得出答案．

試題解析：（1） 證明：∵AB∥CD

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∠ADC+∠BAD＝180°，

又∵∠ABC ＝∠ADC，

∴∠BAD＝∠BCD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

（2）∵DE⊥AC，且E是AC的中點,

∴ AD＝DC .

由（1）可得四邊形ABCD是平行四邊形

∴ 四邊形 ABCD是菱形.

∴ AB＝BC

∵ E是AC中點，

∴ BE⊥AC.

（3）在平行四邊形ABCD中，AB∥CD

∵△ABE是等邊三角形

∴ ∠BAE＝60°

∴ ∠ACD＝60°

∵ DE⊥AC

∴ ∠DEC＝90°,

∴ ∠EDC＝30° ,

∴ EC＝DC

設EC＝x，則DC＝2x

∴ DE＝, AB＝AE＝2x ，

在Rt△ADE中，

AE2+OE2=AD2

∴, 解得 ，

∴AC＝3 .