Question

如圖，已知：為邊長(zhǎng)是的等邊三角形，四邊形為邊長(zhǎng)是6的正方形. 現(xiàn)將等邊和正方形按如圖①的方式擺放，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)、、在同一條直線上，從圖①的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)暫停運(yùn)動(dòng)，設(shè)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）.

（1）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)等邊和正方形重疊部分的面積為，請(qǐng)直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，作的角平分線交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊與邊重合，得到. 在線段上是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形. 如果存在，求線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）如圖③，若四邊形為邊長(zhǎng)是的正方形，的移動(dòng)速度為每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度，其余條件保持不變. 開始移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開始，沿折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度開始移動(dòng)，停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中，交折線于點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)0≤t＜ 時(shí)，S＝ t²  ， 當(dāng) ≤t≤6時(shí)，S＝；

（2）①AN=AH=4時(shí)，EH＝，②AH=NH時(shí)，EH＝；（3）t＝.

【解析】

試題分析：（1）分兩種情況利用三角形的面積公式可以表示出0≤t＜ 時(shí)重疊部分的面積，

當(dāng)≤t≤6時(shí)用S_△ABC-就可以求出重疊部分的面積．

（2）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，BE＝CE＝ 

，再由條件可以求出AN的值，分三種情況討論求出EH的值，①AN=AH=4時(shí)，②AN=NH=4時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)在線段AG的延長(zhǎng)線上，③AH=NH時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)為線段AG的中垂線與AG的交點(diǎn)，從而可以求出答案．

（3）再運(yùn)動(dòng)中當(dāng)0≤t＜2時(shí)，如圖2，△PEC∽△EFQ，可以提出t值；當(dāng)2≤t≤4時(shí)，如圖3，△PEC∽△QDF，可以提出t值．

試題解析：（1）當(dāng)0≤t＜ 時(shí)，S＝ t²

當(dāng) ≤t≤6時(shí)，S＝．

（2）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，BE＝CE＝，

∵BM平分∠ABE，

∴∠MBE＝∠ABE＝30°

∴ME=2，

∵∠ABM=∠BAM，

∴AM=BM=4，

∵△ABM≌△ACN，

∴∠CAN=30°，AN=4

①AN=AH=4時(shí)，EH＝＝，

②AN=NH=4時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)在線段AG的延長(zhǎng)線上，∴舍去，

③AH=NH時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)為線段AG的中垂線與AG的交點(diǎn)，如圖1，

∴AK＝ AN＝2，AH＝ 

∴EH＝  ＝．

（3）當(dāng)0≤t＜2時(shí)，如圖2，△PEC∽△EFQ，

∴，

∴，

∴t＝.

考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.二次函數(shù)的應(yīng)用；3.全等三角形的判定與性質(zhì)；4.等腰三角形的判定.