Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，P為對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，連接PA、PC，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是、、、，給出如下結(jié)論：

① ② ③ ④

其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________．（在橫線上填上你認(rèn)為所有正確答案的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得AB=CD，AD=BC，設(shè)點(diǎn)P到AB、BC、CD、DA的距離分別為h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面積公式列式整理即可判斷出①正確；根據(jù)三角形的面積公式即可判斷②③錯(cuò)誤；根據(jù)已知進(jìn)行變形，求出S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四邊形ABCD，即可判斷④．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，
設(shè)點(diǎn)P到AB、BC、CD、DA的距離分別為h1、h2、h3、h4，
則S1=ABh1，S2=BCh2，S3=CDh3，S4=ADh4，
∵ABh1+CDh3=ABBC，BCh2+ADh4=ABCD，
∴S2+S4=S1+S3，故①正確；
根據(jù)S4＞S2只能判斷h4＞h2，不能判斷h3＞h1，即不能得出S3＞S1，∴②錯(cuò)誤；
根據(jù)S3=2S1，能得出h3=2h1，不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，∴③錯(cuò)誤；
∵S1-S2=S3-S4，
∴S1+S4= S2+S3=S平行四邊形ABCD，
如圖所示：

此時(shí)S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四邊形ABCD，
即P點(diǎn)一定在對(duì)角線BD上，∴④正確；
故選D．

“點(diǎn)睛”本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積，以及矩形對(duì)角線上點(diǎn)的判定的應(yīng)用，用矩形的面積表示出相對(duì)的兩個(gè)三角形的面積的和是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．