(1)當ABCD為任意四邊形時,EFGH為平行四邊形.
證明:∵EF∥AC∥HG,EH∥BD∥GF,
∴四邊形EFGH為平行四邊形.
(2)①四邊形ABCD是等腰梯形時,四邊形EFGH為矩形,
證明:∵四邊形ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD,
∵EF∥AC∥HG,EH∥BD∥GF.
∴四邊形EFGH為平行四邊形,
∴四邊形EFGH為矩形;
②若ABCD為矩形,則EFGH為菱形.
證明:∵EF∥AC∥HG,EH∥BD∥GF.
∴四邊形EACF,ACGH,EHDB,BDGF,EFGH均為平行四邊形.
∴EF=AC=HG,EH=BD=GF.
∵四邊形ABCD為矩形.
∴AC=BD.
∴EF=AC=HG=EH=BD=GF.
∴四邊形EFGH為菱形.
③若ABCD為菱形,四邊形EFGH為矩形.
證明:∵EF∥AC∥HG,EH∥BD∥GF.
∴四邊形EAOB,EFGH均為平行四邊形,
∴∠AOB=∠E,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AC⊥DB,
∴∠AOB=90°,
∴∠E=90°,
∴四邊形EFGH為矩形;
④若ABCD為正方形,四邊形EFGH為正方形,
證明:∵ABCD為正方形,
∴DB=AC,AC⊥BD,
∵EF∥AC∥HG,EH∥BD∥GF.
∴四邊形EACF,ACGH,EHDB,BDGF,EFGH均為平行四邊形.
∴EF=AC=HG,EH=BD=GF.
∴EH=AC=FG=EF=BD=GH.
∴四邊形EFGH為菱形,
∴AC⊥DB,
∴∠AOB=90°,
∴∠E=90°,
∴四邊形EFGH為矩形,
∴四邊形EFGH為正方形;
(3)當平行四邊形EFGH是矩形時,四邊形ABCD必須滿足:對角線互相垂直.
(4)當平行四邊形EFGH是菱形時,四邊形ABCD必須滿足:對角線相等.
分析:(1)根據(jù)條件證明四邊形EFGH的兩組對邊平行即可;
(2)根據(jù)等腰梯形,矩形,菱形,正方形的性質(zhì)和判定方法分別證明即可;
(3)根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得EFGH為平行四邊形,再加上條件AC⊥BD,可證明∠E=90°,繼而得到答案;
(4)寫一個自己認為正確的結(jié)論即可,答案不唯一.
點評:此題主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四邊形的性質(zhì)和判定,關鍵是熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)定理.