Question

【題目】已知直線y=x+3與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P、Q分別是線段AB、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不與A、B重合，點(diǎn)Q不與O、B重合．

（1）若OP⊥AB于點(diǎn)P，△OPQ為等腰三角形，這時(shí)滿足條件的點(diǎn)Q有幾個(gè)？請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的OQ的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，若△OPQ與△ABO相似，這時(shí)滿足條件的點(diǎn)Q有幾個(gè)？請(qǐng)分別求出相應(yīng)的OQ的長(zhǎng)；

（3）試探究是否存在以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的Rt△OPQ？若存在，求出相應(yīng)的OQ的范圍，并求出OQ取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) 點(diǎn)Q有三個(gè)，OQ的長(zhǎng)為2或或 ；(2) 2個(gè)，OQ的長(zhǎng)為2或；(3)存在，OQ取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（，）．

【解析】

試題分析：（1）如圖1中，滿足條件的點(diǎn)Q有三個(gè)，分三種情形討論即可①QO=QP，②OP=OQ，③PO=PQ．

（2）如圖2中，滿足條件的點(diǎn)Q有2個(gè)．作⊥OB于，⊥OP于，可以證明、滿足條件，理由相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

（3）存在．以O(shè)Q為直徑作⊙G，當(dāng)⊙G與AB相切于點(diǎn)P時(shí)，∠OPQ=90°，此時(shí)OQ的值最�。�由此求出OQ，即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）如圖1中，滿足條件的點(diǎn)Q有三個(gè)．

理由：作PM⊥OB于M，作OP的垂直平分線交OP于F，交OB于．則=，△是等腰三角形，此時(shí)=OB=2．

∵A（0，3），B（4，0），

∴OA=3，OB=4，AB=5，

∵OP⊥AB，

∴OAOB=ABOP，

∴OP==，

當(dāng)=OP時(shí)，△是等腰三角形，此時(shí)=，

當(dāng)PO=時(shí)，∵PM⊥，

∴=2OM，

∵∠POM=∠，∠PMO=∠OPB，

∴△OPM∽△OBP，

∴=OMOB，

∴OM=，

∴=.

綜上所述，△OPQ為等腰三角形時(shí)，滿足條件的點(diǎn)Q有三個(gè)，OQ的長(zhǎng)為2或或．

（2）如圖2中，滿足條件的點(diǎn)Q有2個(gè)．

理由：作⊥OB于，⊥OP于，

∵PA=PB，∠AOB=90°，

∴PA=PB=PO，

∴∠=∠ABO，∵∠=∠AOB，

∴△∽△BAO，

∵PA=PB，∥OA，

∴==OB=2，

∵∠=∠ABO，∠=∠AOB，

∴△∽△BOA，

∴，

∴，

∴=，

綜上所述，△OPQ與△ABO相似時(shí)，滿足條件的點(diǎn)Q有2個(gè)，OQ的長(zhǎng)為2或．

（3）存在．理由如下：

如圖3中，以O(shè)Q為直徑作⊙G，當(dāng)⊙G與AB相切于點(diǎn)P時(shí)，∠OPQ=90°，此時(shí)OQ的值最�。�

∴設(shè)OG=GP=r，

∵AO=AP=3，

∴PB=AB=AP=2，

在Rt△PBG中，∵∠GPB=90°，PG=r，BG=4﹣r，PB=2，

∴，

∴r=，

∴OQ=2r=3，

∴當(dāng)3≤OQ＜4時(shí)，△OPQ可為直角三角形．

作PM⊥OB于M．

∵PM∥OA，

∴，

∴，

∴PM=，BM=，

∴OM=4﹣=，

∴OQ取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（，）．