Question

【題目】“分塊計(jì)數(shù)法”：對(duì)有規(guī)律的圖形進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)，有些題可以采用“分塊計(jì)數(shù)”的方法．例如：圖1有6個(gè)點(diǎn)，圖2有12個(gè)點(diǎn)，圖3有18個(gè)點(diǎn)，……，按此規(guī)律，求圖10、圖n有多少個(gè)點(diǎn)？

我們將每個(gè)圖形分成完全相同的6塊，每塊黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同（如圖），這樣圖1中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×1＝6個(gè)；圖2中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×2＝12個(gè)：圖3中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×3＝18個(gè)；……；所以容易求出圖10、圖n中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是60、6n．

請(qǐng)你參考以上“分塊計(jì)數(shù)法”，先將下面的點(diǎn)陣進(jìn)行分塊，再完成以下問(wèn)題：

（1）第5個(gè)點(diǎn)陣中有　 　個(gè)圓圈；第n個(gè)點(diǎn)陣中有　 　個(gè)圓圈．

（2）小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271嗎？如果會(huì)，請(qǐng)求出是第幾個(gè)點(diǎn)陣．

Answer 1

【答案】（1）61，3n2﹣3n+1；（2）小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271，它是第10個(gè)點(diǎn)陣

【解析】

(1)第2個(gè)圖中2個(gè)小圓圈為一塊,分為3塊,余1,第3個(gè)圖中3個(gè)小圓圈為一塊,分為6塊,余1；按此規(guī)律得：第5個(gè)圖中5個(gè)小圓圈為一塊,分為12塊,余1，由此即可求得第n個(gè)點(diǎn)陣圖中小圓圈的個(gè)數(shù)；

(2)代入271,列方程,方程有解則存在這樣的點(diǎn)陣．

解：(1)如圖所示：第1個(gè)點(diǎn)陣中有：1個(gè),

第2個(gè)點(diǎn)陣中有：2×3 ×(2-1)+1＝7個(gè),

第3個(gè)點(diǎn)陣中有：3×3 ×(3-1)+1＝19個(gè),

第4個(gè)點(diǎn)陣中有：4×3 ×(4-1)+1＝37個(gè),

第5個(gè)點(diǎn)陣中有：5×3 ×(5-1)+1＝61個(gè),

…

第n個(gè)點(diǎn)陣中有：n×3(n﹣1)+1＝3n2﹣3n+1,

故答案為：61,3n2﹣3n+1；

(2)3n2﹣3n+1＝271,

n2﹣n﹣90＝0,

(n﹣10)(n+9)＝0,

n1＝10,n2＝﹣9(舍),

∴小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271,它是第10個(gè)點(diǎn)陣．