Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線y＝﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接CM，將線段MC繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MD，連接CD、BD．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t＞0），請解答下列問題：

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)與直線l的表達(dá)式；

（2）①請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含t的式子表示），并求點(diǎn)D落在直線l上時(shí)t的值；

②求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中線段CD長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），y＝﹣x+；（2）①點(diǎn)D落在直線l上時(shí)，t＝6﹣2；②CD的最小值為．

【解析】

（1）解方程求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的表達(dá)式；

（2）①分點(diǎn)M在AO上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)兩種情況，DN⊥x軸于N，證明△MCO≌△DMN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出t；

②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短解答．

（1）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2﹣x+=0，

解得x1＝1，x2＝﹣3，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，即C（0，），

設(shè)直線l的表達(dá)式為y＝kx+b，

將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，

解得，，

則直線l的表達(dá)式為y＝﹣x+；

（2）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于N，

由題意可知，AM＝t，OM＝3﹣t，MC⊥MD，

則∠DMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，

∴∠MCO＝∠DMN，

在△MCO與△DMN中，

，

∴△MCO≌△DMN（AAS），

∴MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，

∴D（t﹣3+，t﹣3）；

同理，如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D（﹣3+t+，t﹣3）

將D點(diǎn)坐標(biāo)代入直線BC的解析式y＝﹣x+得，t﹣3＝﹣×（﹣3+t+）+，

t＝6﹣2，即點(diǎn)D落在直線l上時(shí)，t＝6﹣2；

②∵△COD是等腰直角三角形，

∴CM＝MD，

∴線段CM最小時(shí)，線段CD長度的最小，

∵M在AB上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM最短，CD最短，即CM＝CO＝，

根據(jù)勾股定理得，CD的最小值為．