精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
正方形ABCD邊長為4,M、N分別是BC、CD上的兩個動點,當M點在BC上運動時,保持AM和MN垂直.
(1)證明:Rt△ABM∽Rt△MCN;
(2)設BM=x,梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數關系式;當M點運動到什么位置時,四邊形ABCN面積最大,并求出最大面積.

【答案】分析:(1)先根據正方形的性質得∠B=∠C=90°,∠AMB+∠BAM=90°,又∠AMN=90°,則∠AMB+∠NMC=90°,得到∠BAM=∠NMC,再根據相似三角形的判定即可得到結論;
(2)由(1)的結論得到AB:MC=BM:NC,把AB=4,BM=x,MC=4-x代入表示出NC,再根據梯形的面積公式得y=(NC+AB)•BC,把NC、AB和BC的長代入得到y(tǒng)與x之間的函數關系式;然后運用配方法將二次函數寫成頂點式,根據二次函數的性質即可求解.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠B=∠C=90°,
又∵AM⊥MN,
∴∠AMN=90°,
∴∠AMB+∠NMC=90°,
而∠AMB+∠BAM=90°,
∴∠BAM=∠NMC,
∴Rt△ABM∽Rt△MCN;

(2)解:∵Rt△ABM∽Rt△MCN,
∴AB:MC=BM:NC,
而AB=4,BM=x,MC=4-x,
∴4:(4-x)=x:NC,
∴NC=,
∴y=(NC+AB)•BC
=+4)×4
=-x2+2x+8.
即y與x之間的函數關系式為y=-x2+2x+8;
∵y=-x2+2x+8=-(x-2)2+10,
∴當x=2,即當M點運動到BC中點時,四邊形ABCN面積最大,最大面積是10.
點評:本題考查了相似三角形的判定與性質:有兩組角對應相等的兩個三角形相似;相似三角形對應邊的比相等.也考查了正方形的性質,梯形的面積公式以及二次函數的最值,難度中等.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網正方形ABCD邊長為4,M、N分別是BC、CD上的兩個動點,當M點在BC上運動時,保持AM和MN垂直.
(1)證明:Rt△ABM∽Rt△MCN;
(2)設BM=x,梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數關系式;當M點運動到什么位置時,四邊形ABCN的面積最大,并求出最大面積;
(3)當M點運動到什么位置時Rt△ABM∽Rt△AMN,求此時x的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,正方形ABCD邊長為2cm,以點B為圓心,AB的長為半徑作弧
AC
,則圖中陰影部分的面積為( 。
A、(4-π)cm2
B、(8-π)cm2
C、(2π-4)cm2
D、(π-2)cm2

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,正方形ABCD邊長為2,點E在CB的延長線上,BD=BE,則tan∠BAE的值為
 

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

已知:正方形ABCD邊長為4cm,E,F分別為CD,BC的中點,動點P在線段AB上從B?A以2cm/精英家教網s的速度運動,同時動點Q在線段FC上從F?C以1cm/s的速度運動,動點G在PC上,且∠EGC=∠EQC,連接PD.設運動時間為t秒.
(1)求證:△CQE∽△APD;
(2)問:在運動過程中CG•CP的值是否發(fā)生改變?如果不變,請求這個值;若改變,請說明理由;
(3)當t為何值時,△CGE為等腰三角形并求出此時△CGE的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

正方形ABCD邊長為4,M、N分別是BC、CD上的兩個動點,當M點在BC上運動時,保持AM和MN垂直,
(1)證明:Rt△ABM∽Rt△MCN;
(2)設BM=x,梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數關系式;
(3)梯形ABCN的面積是否可能等于11?為什么?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案