Question

（2012•通遼）如圖，四邊形ABCD與四邊形ACED都是平行四邊形，R是DE的中點(diǎn)，BR交AC、CD于點(diǎn)P、Q．若AD=

5

，AB=AC=2

5

．
求：BP、PQ的長．

Answer 1

分析：由平行四邊形的性質(zhì)推知△BER≌△DEC（SAS），根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證得BR=DC=2

5

；然后由三角形中位線的判定證得PC是△BER的中位線，從而求得BP=

1

2

BR=

5

．

解答：解：∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，
∴BC=AD=CE=

5

，AB=DC=DE=AC=2

5

，
∴BE=DE=2

5

．
又∵R是DE的中點(diǎn)，
∴ER=

1

2

DE=

5

，
在△BER和△DEC中，
∵

BE=DE ∠BER=∠DEC(公共角) ER=EC

，
∴△BER≌△DEC（SAS），
∴BR=DC=2

5

．
∵AC∥DE，
∴BC：CE=BP：PR，
∴BP=PR，
∴PC是△BER的中位線，
∴BP=RP=

1

2

BR=

5

．
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ．
又∵點(diǎn)R是DE中點(diǎn)，
∴DR=RE．

PQ

QR

=

PC

RE

=

1

2

，
∴QR=2PQ．
∴PQ=

1

3

PR=

5

3

；
綜上所述，BP=

5

．PQ=

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．