Question

當a，b為何值時，方程x²+2（1+a）x+3a²+4ab+4b²+2=0有實數根？

Answer 1

解：若方程x²+2（1+a）x+3a²+4ab+4b²+2=0有實數根，則△≥0，
∵△=4（1+a）²-4（3a²+4ab+4b²+2），
=4a²+8a+4-12a²-16ab-16b²-8，
=-8a²-16ab-16b²+8a-4，
∴-8a²-16ab-16b²+8a-4≥0，
即-2a²-4ab-4b²+2a-1≥0，
-a²+2a-1-a²-4ab-4b²≥0，
（a-1）²+（a+2b）²≤0．
因為（a-1）²+（a+2b）²≥0，
∴（a-1）²+（a+2b）²=0，
∴a-1=0且a+2b=0，
所以a=1，b=-．
所以當a=1，b=-時，方程x²+2（1+a）x+3a²+4ab+4b²+2=0有實數根．
分析：由方程有實數根，得到△≥0，即∵△=4（1+a）²-4（3a²+4ab+4b²+2）=-8a²-16ab-16b²+8a-4≥0，再經過變形得，（a-1）²+（a+2b）²≤0，所以有a-1=0且a+2b=0，由此可求出a，b的值．
點評：題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了幾個非負數的和為0的性質以及代數式變形的能力．