Question

【題目】綜合與實(shí)踐

操作發(fā)現(xiàn)：

如圖1和圖2，已知點(diǎn)為正方形的邊和上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，，除外），作射線，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上（點(diǎn)，除外）運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：；

　　　　　　　　

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上（點(diǎn)，除外）運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；

拓廣探索：

（3）在（1）的條件下，找出與相等的線段，并說(shuō)明理由；

（4）如圖3，若點(diǎn)為矩形的邊上一點(diǎn)，作射線，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則_______．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）；理由見(jiàn)解析；（4）．

【解析】

(1)作DH∥BG交CF延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，得到四邊形DGFH為矩形，證得CF+ DG =CH，設(shè)法證得，得到AE=CH，即可證得結(jié)論；

(2)依照(1)的方法即可得到CF = AE + DG；

(3)根據(jù)(1)的方法證得，得到AE=BF，BE=CF，利用(1)的結(jié)論可求得EF= DG；

(4)作DH∥BG交CF延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，得到四邊形DGFH為矩形，得到 DG= CH- CF，根據(jù)已知條件易證得，可求得，，由，可得到，求得，即可求得結(jié)論．

(1)過(guò)D作DH∥BG交CF延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖，

∵CF⊥BG，DG⊥BG，

∴四邊形DGFH為矩形，

∴DG=HF，

∴CF+ DG= CF+ HF =CH，

∵四邊形ABCD為正方形，且AE⊥BG，

∴AB=CD，∠ABC=∠BCD=∠AEB=90，

∴∠5+∠1=90，∠1+∠2=90，∠2+∠3=90，∠3+∠4=90，

∴∠5=∠4，

在和中，

，

∴，

∴AE=CH，

∴AE= CF+ DG；

(2)CF = AE + DG；

依照(1)的方法，如圖，即可證明CF = AE + DG；

(3)EF= DG，理由如下，如圖：

由(1)得：∠5+∠1=90，∠1+∠2=90，

∴∠5=∠2，

在和中，

，

∴，

∴AE=BF，BE=CF，

∴EF=BF-BE=AE-CF，

∵AE= CF+ DG，

∴EF= DG；

(4)過(guò)D作DH∥BG交CF延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖，

∵CF⊥BG，DG⊥BG，

∴四邊形DGFH為矩形，

∴DG=HF，

∴DG= CH- CF，

∵四邊形ABCD為矩形，AE⊥BG，CD=2BE=6，

∴AB=CD=2BE =6，BE =3，∠ABC=∠BCD=∠AEB=90，

∴，

∴，

∵∠ABC=∠BCD=∠AEB=90，

∴∠5+∠1=90，∠1+∠2=90，∠2+∠3=90，∠3+∠4=90，

∴∠5=∠4=∠2=30，

∴，，

∵，

∴，

∵，即，

∴，

∴．