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(2003•吉林)如圖,直線AB過點A(m,0),B(0,n)(m>0,n>0).反比例函數(shù)y=的圖象與AB交于C、D兩點.P為雙曲線y=上任一點,過P作PQ⊥x軸于Q,PR⊥y軸于R.請分別按(1)、(2)、(3)各自的要求解答問題.
(1)若m+n=10,n為何值時△AOB面積最大,最大值是多少?
(2)若S△AOC=S△COD=S△DOB,求n的值;
(3)在(2)的條件下,過O、D、C三點作拋物線,當(dāng)該拋物線的對稱軸為x=1時,矩形PROQ的面積是多少?

【答案】分析:(1)已知了m+n=10,則m=10-n,根據(jù)三角形的面積公式即可得出關(guān)于S,n的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值及對應(yīng)的n的值.
(2)可根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出直線AB的解析式,然后聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式得出C、D兩點的橫坐標(biāo),根據(jù)等高的三角形的面積比等于底邊比以及S△AOC=S△COD=S△DOB,可得出C、D為AB的三等分點,因此C的橫坐標(biāo)為D的橫坐標(biāo)的2倍,由此可求出n的值.
(3)本題的關(guān)鍵是求出m的值,可根據(jù)C得到n的值表示出C、D的坐標(biāo),已知了拋物線的對稱軸為x=1,因此拋物線與x軸的另一交點坐標(biāo)為(2,0),然后將C、D坐標(biāo)代入拋物線中,即可求得m的值.而矩形的面積實際是P點橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積,也就是m的值.
解答:解:(1)∵,
又∵m+n=10,∴

∴n=5時,△AOB面積最大,最大值為

(2)分別過D,C作y軸平行線與x軸交于M,N兩點,則DM⊥x軸,CN⊥x軸.
由已知得△OBD,△ODC,△OCA等高等底.
∴BD=CD=CA.
又∵BO∥DM∥CN,
.∴D點的橫坐標(biāo)為
又∵點D在函數(shù)的圖象上,
∴點D縱坐標(biāo)為.∴點D坐標(biāo)為
同樣可求得C點坐標(biāo)為
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b(k≠0),
把A,B兩點坐標(biāo)代入,得
解得∴直線AB解析式為
把D點坐標(biāo)代入,得
∵m≠0,
.∴

(3)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,
把O,D,C三點坐標(biāo)分別代入,得
解得,c=0.
∴拋物線解析式為
由已知,得
解得或m=0(不合題意,舍去).
設(shè)P點坐標(biāo)為(a,b),
∵點P在雙曲線上,則.即ab=m.

點評:本題為二次函數(shù)綜合題,考查了圖形面積的求法、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、函數(shù)圖象交點等知識.
練習(xí)冊系列答案
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(3)在(2)的條件下,過O、D、C三點作拋物線,當(dāng)該拋物線的對稱軸為x=1時,矩形PROQ的面積是多少?

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(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求此拋物線的解析式;
(2)現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需經(jīng)過此橋開往乙地,已知甲地距此橋280km(橋長忽略不計).貨車正以每小時40km的速度開往乙地,當(dāng)行駛1小時時,忽然接到緊急通知:前方連降暴雨,造成水位以每小時0.25m的速度持續(xù)上漲(貨車接到通知時水位在CD處,當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點O時,禁止車輛通行),試問:如果貨車按原來速度行駛,能否安全通過此橋?若能,請說明理由;若不能,要使貨車安全通過此橋,速度應(yīng)超過每小時多少千米?

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