Question

【題目】如圖，二次函數(shù) y=﹣x2+bx+c 的圖象經(jīng)過 A（1，0），B（0，﹣3）兩點．

（1）求這個拋物線的解析式及頂點坐標(biāo)；

（2）設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與 x 軸交于點 C，連接 BA、BC，求△ABC 的面積．

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點 P，使得 O、B、C、P 四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出 P 點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x﹣3， 即 y=﹣（x﹣2）2+1，（2，1）；（2）；（3）（2，3）或（2，-3）.

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過 A（1，0），B（0，﹣3）兩點，即可得到拋物線的解析式為 即，進(jìn)而得出拋物線的頂點坐標(biāo)；

（2）由（1）可得，C（2，0），根據(jù) A（1，0），B（0，﹣3），可得 OC=2，OA=1， OB=3，AC=1，即可得到△ABC的面積；

（3）分兩種情況討論：當(dāng)四邊形 OBCP1 是平行四邊形時，CP1=OB=3；當(dāng)四邊形 OBP2C 是平行四邊形時，CP2=OB=3，即可得到 P 點坐標(biāo)．

解：（1）∵二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過 A（1，0），B（0，﹣3）兩點，

∴拋物線的解析式為 即

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，1）；

（2）由（1）可得，C（2，0），又∵A（1，0），B（0，﹣3），

∴OC=2，OA =1，OB=3，

∴AC=1，

∴△ABC 的面積

（3）存在，P 點有2個，坐標(biāo)為 P1（2，3），P2（2，﹣3）．

如圖，當(dāng)四邊形 OBCP1 是平行四邊形時，CP1=OB=3，而 OC=2， 故 P1（2，3）；

當(dāng)四邊形 OBP2C 是平行四邊形時，CP2=OB=3，而 OC=2， 故 P2（2，﹣3）．