Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜邊AB的中線，過點M作CM的垂線與邊AC和CB的延長線分別交于點D和點E．
（1）求證：MC•BC=DM•AC；
（2）若tanA=

2

3

，AD=6，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜邊AB的中線，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得CM=AM=BM=

1

2

AB，即可證得∠A=∠ACM，繼而證得△CDM∽△ABC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得MC•BC=DM•AC；
（2）由tanA=

2

3

，可得在Rt△CDM中，

DM

CM

=

2

3

，易證得△ADM∽△EBM，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得BE的長．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜邊AB的中線，
∴CM=AM=BM=

1

2

AB，
∴∠A=∠ACM，
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=∠ACB=90°，
∴△CDM∽△ABC，
∴MC：AC=DM：BC，
∴MC•BC=DM•AC；

（2）解：∵∠A=∠ACM，tanA=

2

3

，
∴在Rt△CDM中，

DM

CM

=

2

3

，
∵CM=BM，
∴DM：BM=2：3，
∵∠ACM+∠BCM=∠BCM+∠E=90°，
∴∠ACM=∠E，
∴∠A=∠E，
∵∠AMD=∠EMB，
∴△ADM∽△EBM，
∴AD：BE=DM：BM，
∵AD=6，
∴BE=

3

2

×6=9．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．