Question

已知：在矩形ABCD中，AB=2，E為BC邊上的一點，沿直線DE將矩形折疊，使C點落在AB邊上的C點處．過C′作C′H⊥DC，C′H分別交DE、DC于點G、H，連接CG、CC′，CC′交GE于點F．
（1）求證：四邊形CGC′E為菱形；
（2）設sin∠CDE=x，并設y=

C′E+DG

DE

，試將y表示成x的函數(shù)；
（3）當（2）中所求得的函數(shù)的圖象達到最高點時，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）易得CC'被DE垂直平分，可得所求的四邊形有2組鄰邊相等，以及一對對應角相等，利用圖中的兩個垂直得到C'H∥BC，可得到一對內(nèi)錯角相等，利用等邊對等角，得到C′G=C′E，那么可得4條邊相等，那么是菱形．
（2）給出了y的基本形式，那么可設分母中的單獨的一個字母為未知量，其他線段用這條線段以及相應的x表示．
（3）函數(shù)圖象達到最高點，那么應是當x=-

b

2a

時y相應的值．充分利用（2）在中的DG：DE的值，求得DE值，利用勾股定理可求得C'H的長，那么BC=C'H．

解答：（1）證明：根據(jù)題意，C、C′兩點關于直線DE成軸對稱，DE是線段CC′的垂直平分線，
故EC=EC′，GC=GC′，∠C′EG=∠CEG（2分）
由C′H⊥DC，BC⊥DC得：C′G∥CE，
∴∠C′GE=∠GEC，
∵∠C′EG=∠CEG，
∴∠C′GE=∠C′EG，
∴C′G=C′E，
∴C′G=C′E=EC=GC，
∴四邊形CGCE為菱形．（4分）

（2）解：設DE=a，由sin∠CDE=

CE

DE

=x，
則CE=ax，又DC⊥CE，CF⊥DE，
∴△DCE∽△CFE，
∴

CE

FE

=

DE

CE

∴EF=

CE2

DE

=

(ax)2

a

=ax2（6分）
DG=DE-2EF=a-2ax²，
∴

C′E+DG

DE

=

CE+DG

DE

=

ax+a-2ax2

a

=x+1-2x2．（7分）
∴y=-2x²+x+1．（8分）

（3）解：由（2）得：y=-2x²+x+1=-2(x-

1

4

)2+

9

8

，（9分）
可見，當x=

1

4

時，此函數(shù)的圖象達到最高點，此時

DG

DE

=1-2x2=1-

1

8

=

7

8

∵GH∥CE，
∴

DH

DC

=

DG

DE

=

7

8

，
由DC=2，得DH=

7

4

．（10分）
在Rt△DHC′中C′H=

DC′2-DH2

=

4- 49 16

=

15

4

．（11分）
∴BC=

15

4

．（12分）

點評：本題綜合考查了菱形的判定，三角形的相似，勾股定理等知識．使用的判定為：四條邊相等的四邊形是菱形．