Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=2，P是BC邊上與B、C不重合的任意一點，DQ⊥AP于點Q
（1）判斷△DAQ與△APB是否相似，并說明理由．
（2）當點P在BC上移動時，線段DQ也隨之變化，設PA=x，DQ=y，求y與x間的函數關系式，并求出x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAP=∠APB，
∵DQ⊥AP，
∴∠AQD=90°，
∴∠B=∠AQD，
∴△DAQ∽△APB；

（2）∵△DAQ∽△APB，
∴=，
∵AB=2，
∴DA=2，
∵PA=x，DQ=y，
∴=，
∴y=．
∵點P在BC上移到C點時，PA最長，此時PA==2，
又∵P是BC邊上與B、C不重合的任意一點，
∴x的取值范圍是；2＜x＜2．
分析：（1）根據四邊形ABCD是正方形，得AD∥BC，∠B=90°，∠DAP=∠APB，根據DQ⊥AP，得∠B=∠AQD，即可證出△DAQ∽△APB；
（2）根據△DAQ∽△APB，得=，再把AB=2，DA=2，PA=x，DQ=y代入得出=，y=．根據點P在BC上移到C點時，PA最長，求出此時PA的長即可得出x的取值范圍．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，用到的知識點是相似三角形的判定與性質、正方形的性質，關鍵是能根據兩三角形相似求出函數關系式．