(2005 遼寧十一市)如圖所示,Rt△OAC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的直角三角形紙片,點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,點(diǎn)Ax軸上,點(diǎn)Cy軸上,,∠CAO=30°.將Rt△OAC折疊,使OC邊落在AC邊上,點(diǎn)O與點(diǎn)D重合,折痕為CE

(1)求折痕CE所在直線的解析式;

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)設(shè)點(diǎn)M為直線CE上的一點(diǎn),過點(diǎn)MAC的平行線,交y軸于點(diǎn)N,是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以M、N、DC為頂點(diǎn)的四形邊是平行四邊形?若存在,請求出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

答案:略
解析:

解 (1)由題知:∠CAO=30°,∴

∴在RtCOE中,

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1,0)

設(shè)直線CE的解析式為:y=kxb

把點(diǎn)代入得

∴直線CE的解析式為

(2)RtAOC中,

,

過點(diǎn)DDFOA于點(diǎn)F

RtAFD中,

,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是

(3)存在兩個(gè)符合條件的M點(diǎn).

第一種情況:此點(diǎn)在第四象限內(nèi),設(shè)為

延長DF交直線CE,連接,則軸.

,∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

又∵點(diǎn)在直線CE上,

∴將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中,

,

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是

又∵

.又∵,

∴四邊形是平行四邊形.

又∵點(diǎn)Oy軸上,

∴點(diǎn)是符合條件的點(diǎn).

第二種情況:此點(diǎn)在第二象限內(nèi),設(shè)為

過點(diǎn)DDNCEy軸與N,過N點(diǎn)作交直線CE于點(diǎn)

則四邊形為平行四邊形.

,

軸于點(diǎn)H

,

中,

點(diǎn)坐標(biāo)為

∴點(diǎn)是符合條件的點(diǎn).

∴綜上所述,符合條件的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:


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