(2005 遼寧十一市)如圖所示,Rt△OAC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的直角三角形紙片,點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,,∠CAO=30°.將Rt△OAC折疊,使OC邊落在AC邊上,點(diǎn)O與點(diǎn)D重合,折痕為CE.
(1)求折痕CE所在直線的解析式;
(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)M為直線CE上的一點(diǎn),過點(diǎn)M作AC的平行線,交y軸于點(diǎn)N,是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以M、N、D、C為頂點(diǎn)的四形邊是平行四邊形?若存在,請求出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
解 (1)由題知:∠CAO=30°,∴ ∴在Rt△COE中, ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1,0). 設(shè)直線CE的解析式為:y=kx+b 把點(diǎn) ∴ ∴直線CE的解析式為 (2)在Rt△AOC中, ∵ ∴ 過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F. 在Rt△AFD中,
∴ ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是 (3)存在兩個(gè)符合條件的M點(diǎn). 第一種情況:此點(diǎn)在第四象限內(nèi),設(shè)為 延長DF交直線CE于 ∵ 又∵點(diǎn) ∴將點(diǎn) 得 即 ∴點(diǎn) 又∵ ∴ ∴四邊形 又∵點(diǎn)O在y軸上, ∴點(diǎn) 第二種情況:此點(diǎn)在第二象限內(nèi),設(shè)為 過點(diǎn)D作DN∥CE交y軸與N,過N點(diǎn)作 則四邊形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 作 ∵ ∴ ∴ 在
∴ ∴ ∴點(diǎn) ∴綜上所述,符合條件的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:
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