【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分別過(guò)B,C向過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)作垂線(xiàn),垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)如圖(1),過(guò)A的直線(xiàn)與斜邊BC不相交時(shí),求證:①△ABE≌△CAF; ②EF=BE+CF

(2)如圖(2),過(guò)A的直線(xiàn)與斜邊BC相交時(shí),其他條件不變,若BE=10,CF=3,試求EF的長(zhǎng).

【答案】
(1)證明:

①∵BE⊥EF,CF⊥EF,

∴∠AEB=∠CFA=90°,

∴∠EAB+∠EBA=90°,

∵∠BAC=90°,

∴∠EAB+∠FAC=90°,

∴∠EBA=∠FAC,

在△AEB與△CFA中

∴△ABE≌△CAF(AAS),

②∵△ABE≌△CAF,

∴EA=FC,EB=FA,

∴EF=AF+AE

=BE+CF


(2)解:∵BE⊥AF,CF⊥AF

∴∠AEB=∠CFA=90°

∴∠EAB+∠EBA=90°

∵∠BAC=90°

∴∠EAB+∠FAC=90°

∴∠EBA=∠FAC,

在△AEB與△CFA中

∴△ABE≌△CAF(AAS),

∴EA=FC,EB=FA,

∴EF=FA﹣EA=EB﹣FC=10﹣3=7


【解析】(1)①由條件可求得∠EBA=FAC,利用AAS可證明△ABE≌△CAF;②利用全等三角形的性質(zhì)可得EA=FC,EB=FA,利用線(xiàn)段的和差可證得結(jié)論;(2)同(1)可證明△ABE≌△CAF,可證得EF=FA﹣EA,代入可求得EF的長(zhǎng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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問(wèn)題:

(1)求∠ABC的度數(shù);

(2)求證:△AEB≌△ADC;

(3)△AEB可以看作是由△ADC經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的?并判斷△AED的形狀(不用說(shuō)明理由).

(4)如圖(3),已知直線(xiàn)a,b,c,且a∥b,b∥c,在圖中用直尺、三角板、圓規(guī)畫(huà)等邊三角形A′B′C′使三個(gè)頂點(diǎn)A′,B′,C′,分別在直線(xiàn)a,b,c上.要求寫(xiě)出簡(jiǎn)要的畫(huà)圖過(guò)程,不需要說(shuō)明理由.

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【題目】已知AM∥CN,點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn),AB⊥BC于B.
(1)如圖1,直接寫(xiě)出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D,求證:∠ABD=∠C;

(3)如圖3,在(2)問(wèn)的條件下,點(diǎn)E、F在DM上,連接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度數(shù).

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【題目】用一個(gè)5倍的放大鏡去觀察一個(gè)三角形,對(duì)此,四位同學(xué)有如下說(shuō)法:

甲說(shuō):三角形的每個(gè)內(nèi)角都擴(kuò)大到原來(lái)的5倍;

乙說(shuō):三角形的每條邊都擴(kuò)大到原來(lái)的5倍;

丙說(shuō):三角形的面積擴(kuò)大到原來(lái)的5倍;

丁說(shuō):三角形的周長(zhǎng)都擴(kuò)大到原來(lái)的5倍.上述說(shuō)法中正確的是( 。

A. 甲和乙B. 乙和丙C. 丙和丁D. 乙和丁

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根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
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(2)在(1)中,若∠1=40°,則∠3= , 若∠1=55°,則∠3=;
(3)由(1)(2)請(qǐng)你猜想:當(dāng)∠3=時(shí),任何射到平面鏡a上的光線(xiàn)m經(jīng)過(guò)平面鏡a和b的兩次反射后,入射光線(xiàn)m與反射光線(xiàn)n總是平行的?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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