Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，若OA,OB的長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，且OA>OB.

（1）若點(diǎn)E為x軸上的點(diǎn)，且△AOE的面積為.

求：①點(diǎn)E的坐標(biāo)；②證明：△AOE∽△DAO;

（2）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系中，則在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A,C,F,M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①或；②詳見解析；（2）

【解析】

（1）①解一元二次方程求出OA，OB的長度，根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
②分別求出兩三角形夾直角的兩對(duì)應(yīng)邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對(duì)角線的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算．

(1)

(x3)(x4)=0，

∴x3=0，x4=0，

解得

∵OA>OB，

∴OA=4，OB=3，

∵

∴

∴

∵點(diǎn)E在x軸上

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為或

②在△AOE與△DAO中, AD=6，

∴

又∵

∴△AOE∽△DAO；

(2)根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)，OB=OC=3，

∴AO平分∠BAC，

①AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線AB上時(shí)，AF=AC=5，

所以點(diǎn)F與B重合，

即F(3,0)，

②AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線BA上時(shí)，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，

點(diǎn)F(3,8).

③AC是對(duì)角線時(shí),做AC垂直平分線L,AC解析式為,直線L過 且k值為 (平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為1)，

L解析式為 聯(lián)立直線L與直線AB求交點(diǎn)，

∴F;

④AF是對(duì)角線時(shí),過C做AB垂線,垂足為N,根據(jù)等積法求出勾股定理得出,A做A關(guān)于N的對(duì)稱點(diǎn)即為F,過F做y軸垂線,垂足為G,

∴F

綜上所述,滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)：