Question

如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，QP⊥AP交CD于Q，設(shè)PB＝x，△ADQ的面積為y． (1) 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 (2) 當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ的面積最大? (3) 點(diǎn)P是否存在這樣的位置，使△APB的面積是△ADQ面積的?若存在，求出BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	因?yàn)锳BCD為正方形 　　所以∠ABP＝∠PCQ＝ 　　又因?yàn)镼P⊥AP 　　所以∠APB＋∠QPC＝∠BAP＋∠APB＝ 　　所以∠BAP＝－∠QPC 　　所以△ABP∽△PCQ 　　所以＝ 　　所以＝ 　　所以CQ＝ 　　所以DQ＝4－CQ＝4－＝ 　　所以y＝AD·DQ＝×4× 　　即y＝x2－2x＋8(0≤x＜4)
(2)	顯然，當(dāng)P與B重合時(shí)，Q與C重合，此時(shí)△ADQ的面積最大，S△ADQ最大＝S△ADC＝×4×4＝8，同理，當(dāng)P與C重合時(shí)，S△ADQ最大＝8
(3)	解：因?yàn)镾△ABP＝AB·BP＝×4×x＝2x，假?zèng)]存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，則2x＝，整理得x2－10x＋16＝0，解得x1＝2，x2＝8．因?yàn)閤2＝8＞4，不符合題意，舍去，所以x＝2，故點(diǎn)P存在這樣的位置，使△APB的面積是△ADQ面積的，此時(shí)，BP的長(zhǎng)為2． 　　解題指導(dǎo)：要求△ADQ的面積y，與BP的長(zhǎng)x之間的關(guān)系式，因?yàn)锳D＝4．∠ADQ＝，所以只要建立DQ與BP的長(zhǎng)x的關(guān)系式，因?yàn)椴荒苷业健鰽BP與△ADQ相似的條件，而DQ＝4－CQ，PC＝4－BP＝4－x，所以只需證明△ABP∽△PCQ．