Question

如圖，△ABC的高AD=4，BC=8，四邊形MNPQ是△ABC中任意一個(gè)內(nèi)接矩形
（1）設(shè)MN=x，MQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)MN=x，矩形MNPQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)MN為多大時(shí)，矩形MNPQ面積y有最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）由四邊形MNPQ是△ABC中任意一個(gè)內(nèi)接矩形，易證得△AMN∽△ABC，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，即可求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）由（1），可求得MQ的值，然后由矩形的面積公式，即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，然后由二次函數(shù)的最值問(wèn)題，求得當(dāng)MN為多大時(shí)，矩形MNPQ面積y有最大值，最大值為多少．

解答：解：（1）∵四邊形MNPQ是△ABC中一個(gè)內(nèi)接矩形，
∴MN∥BC，MQ⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴四邊形MQDE是矩形，
∴MQ=DE，
∴△AMN∽△ABC，
∴

AE

AD

=

MN

BC

，
∵△ABC的高AD=4，BC=8，MN=x，MQ=y，
∴

4-y

4

=

x

8

，
解得：y=4-

1

2

x；

（2）∵由（1），可得MN=x，
∴MQ=4-

1

2

x，
∴y=S_矩形MNPQ=MN•MQ=x（4-

1

2

x）=-

1

2

（x-4）²+8，
∵-

1

2

＜0，
∴當(dāng)MN為4時(shí)，矩形MNPQ面積y有最大值，最大值為8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．