Question

如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，AB=6，延長BA到F，使FA=AB．若P為線段AF上的一個動點（P點與A點不重合），過P點作半圓的切線，切點為C，作CD⊥AB，垂足為D．過B點作BE⊥PC，交PC的延長線于點E．連接AC、DE．
（1）判斷線段AC、DE所在直線是否平行，并證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)AC為x，AC+BE為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）證Rt△PCD∽Rt△PBE得出比例式，根據(jù)切割線定理得出比例式，推出=，推出即可；
（2）連接BC，根據(jù)勾股定理求出BC²=36-x²，證Rt△ABC∽Rt△CBE，得出=，求出BE==，代入即可求出答案．
解答：（1）線段AC、DE所在直線平行．
證明：∵CD⊥AB，BE⊥PE，∠CPD=∠BPE，
∴Rt△PCD∽Rt△PBE，
∴=，
∵PC與⊙O相切于C點，PAB為⊙O的割線
∴PC²=PA×PB
∴=，
∴=，
∵∠CPA=∠EPD，
∴△CPA∽△EPD，
∴∠PCA=∠PED，
∴AC∥DE；

（2）解：連接BC，
∵AB為半圓直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²；
∵AC=x，AB=6
∴BC²=6²-x²=36-x²，
∵PC與半圓相切于點C
∴∠BAC=∠BCE，
∵∠ACB=∠BEC=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△CBE，
∴=，
∴BE==，
∵y=AC+BE
∴y=x+
y=-x²+x+6，
∵P為線段AF上動點（P點與A點不重合）
∴點P與點F重合時，AC的值最大，此時PC==3，
根據(jù)三角形面積求出CD=2，
OD==4，AD=6-4=2，
即AC==2
∴y=-x²+x+6，其中0＜x≤2．
點評：本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，平行線的判定，勾股定理，三角形的面積等知識點的綜合運用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，難度偏大．