Question

如圖1，直線y=-x+4與x軸交于點B，與y軸交于點C，交雙曲線于點N，連ON，且S_△OBN=10．

（1）求雙曲線的解析式；
（2）如圖2，平移直線BC交雙曲線于點P，交直線y=-2于點Q，∠FCB=∠QBC，PC=QB求平移后的直線PQ的解析式；
（3）如圖3，已知A（2，0）點M為雙曲線上一點，CE⊥OM于M，AF⊥OM于F，設梯形CEFA的面積為S，且AF•EF=S，求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵當y=0時，即-x+4=0，
解得：x=4，
當x=0時，y=4，
∴點B的坐標為：（4，0），點C的坐標為（0，4），
∴OB=OC=4，
∵S_△OBN=10，
∴S_△OBN=S_△OCN+S_△OBC=10，
設點N的坐標為（x，y），
∴×4×|x|+×4×4=10，
∴x=-1，
∴y=-x+4=1+4=5，
∴點N的坐標為：（-1，5），
∴k=xy=-5，
∴雙曲線的解析式為：y=-；

（2）作PE⊥y軸于E，作QF⊥x軸于F，
則∠PEC=∠QFB=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠PCB=∠QBC，
∴∠PCE=∠QBF，
在△PCE和△QBC中，
∵，
∴△PCE≌△QBF（AAS），
∴PE=QF=2，
令x=-2，則y=-=，
∴P點的坐標為：（-2，），
∵PQ∥BC，
∴設直線PQ的解析式為：y=-x+b，
將P（-2，）代入得：=2+b，
解得：b=，
∴平移后的直線PQ的解析式為：y=-x+；

（3）作AG⊥EC于G，交OC于H，作FI⊥OA于I，連接EH，
∵CE⊥EF，F(xiàn)A⊥EF，
∴四邊形AFEG是矩形，
∴∠GAF=90°，EG=FA，
∵S=（AF+EC）•EF，AF•EF=S，
∴AF•EF=（AF•EF+EC•EF），
∴EC=2AF，
∴EG=EC，
即EG=GC，
∵GH⊥EC，
∴CH=EH，
∴∠CEH=∠ECH，
∵∠HEO+∠CEH=∠EOH+∠ECH=90°，
∴∠HEO=∠EOH，
∴EH=OH=OC=2，
∵OA=2，
∴OH=OA，
∴∠HAO=45°，
∴∠OAF=45°，
∴OI=OF=1，
∴點F的坐標為（1，-1），
設直線EF的解析式為：y=kx，
∴k=-1，
∴直線EF的解析式為：y=-x，
聯(lián)立：，
解得：（舍去），．
∴點M的坐標為：（-，）．
分析：（1）由直線y=-x+4與x軸交于點B，與y軸交于點C，易求得點B與C的坐標，又由S_△OBN=10，即可求得點N的橫坐標，繼而求得點N的坐標，則可求得雙曲線的解析式；
（2）首先作PE⊥y軸于E，作QF⊥x軸于F，易證得△PCE≌△QBF（AAS），則可求得點P的坐標，又由PQ∥BC，利用待定系數(shù)法即可求得平移后的直線PQ的解析式；
（3）首先作AG⊥EC于G，交OC于H，作FI⊥OA于I，連接EH，由CE⊥EF，F(xiàn)A⊥EF，可得四邊形AFEG是矩形，繼而證得AG是EC的垂直平分線，然后可證得CH=EH=OH=2，即可求得OI=FI=1，則可求得點F的坐標，即可得直線EF的解析式，然后與反比例函數(shù)聯(lián)立，即可求得點M的坐標．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及三角形面積的求解方法等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．