Question

【題目】類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

原題：如圖1，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交射線于點(diǎn)，若，求的值.

（1）嘗試探究

在圖1中，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則和的數(shù)量關(guān)系是______，和的數(shù)量關(guān)系是______，的值是______；

（2）類(lèi)比延伸

如圖2，在原題的條件下，當(dāng)時(shí)，參照問(wèn)題（1）的研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想的值（用含的代數(shù)式表示），并證明你的猜想；

（3）拓展遷移

如圖3，梯形中，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，和相交于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)你求出的值（用含、的代數(shù)式表示）.

Answer 1

【答案】（1）（1），，;（2）見(jiàn)解析;（3）ab.

【解析】

（1）可利用三角形相似、平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)求得結(jié)果；（2）體現(xiàn)了“一般”的情形，雖然 不再是一個(gè)確定的數(shù)值，但可類(lèi)比問(wèn)題（1）的解題思路去猜想、證明 的值；問(wèn)題（3）的解答體現(xiàn)了“類(lèi)比”與“轉(zhuǎn)化”的情形，可過(guò)點(diǎn)E作 交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，將（1）、（2）問(wèn)中的解題方法推廣轉(zhuǎn)化到梯形中.

解 （1）解：（1）如圖1：

∵EH//AB.

∴

又∵E為BC中點(diǎn)，

∴EH為△BCG的中位線，

∴CG=2EH.

故答案為，，.

，，.

（2）猜想：.

證明：如圖1：

∵EH//AB.

∴

∴，則.

∵，

∴.

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

（3）如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則有.

∵，

∴.

∴，

∴.

又∵，

∴.

∵，

∴.

∴.