Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．
①動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接PA，以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．
當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

（1）y=﹣x²﹣2x+3；（2）①點(diǎn)P（，）時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大；②當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），當(dāng)頂點(diǎn)N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣﹣1，2）．

解析試題分析：（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解 答即可； （2）①根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA=OB，從而得到△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，PD越大，△PDE的周長(zhǎng)最大，再判斷出當(dāng)與直線AB平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，PD最大，再求出直線AB的解析式為y=x+3，設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯(lián)立消掉y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)； ②先確定出拋物線的對(duì)稱軸，然后（i）分點(diǎn)M在對(duì)稱軸上時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥對(duì)稱軸于Q，根據(jù)同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角邊”證明△APF和△MPQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PF=PQ，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，表示出PQ的長(zhǎng)，即PF，然后代入拋物線解析式計(jì)算即可得解；（ii）點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，同理求出△APF和△ANQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PF=AQ，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），
∴，
解得，
所以，拋物線的解析式為y=﹣x²﹣2x+3；
（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵PF⊥x軸，
∴∠AEF=90°﹣45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，△PDE的周長(zhǎng)越大，
易得直線AB的解析式為y=x+3，
設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，
聯(lián)立，
消掉y得，x²+3x+m﹣3=0，
當(dāng)△=3²﹣4×1×（m﹣3）=0，
即m=時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，PD最長(zhǎng)，
此時(shí)x=，y=+=，
∴點(diǎn)P（，）時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大；
②拋物線y=﹣x²﹣2x+3的對(duì)稱軸為直線x=，
（i）如圖1，點(diǎn)M在對(duì)稱軸上時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥對(duì)稱軸于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，
∴∠APF=∠QPM，
∵在△APF和△MPQ中，
，
∴△APF≌△MPQ（AAS），
∴PF=PQ，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n（n＜0），則PQ=﹣1﹣n，
即PF=﹣1﹣n，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣1﹣n），
∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x²﹣2x+3上，
∴﹣n²﹣2n+3=﹣1﹣n，
整理得，n²+n﹣4=0，
解得n₁=（舍去），n₂=，
﹣1﹣n=﹣1﹣=，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；
（ii）如圖2，點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，
∴∠FPA=∠QAN，
又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，
∴△APF≌△NAQ，
∴PF=AQ，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（x，﹣x²﹣2x+3），
則有﹣x²﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，
解得x=﹣1（不合題意，舍去）或x=﹣﹣1，
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣﹣1，2）．
綜上所述，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），當(dāng)頂點(diǎn)N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣﹣1，2）．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．