如圖,已知AB⊥BD,CD⊥BD
(1)若AB=9,CD=4,BD=10,請(qǐng)問在BD上是否存在P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似?若存在,求BP的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(2)若AB=9,CD=4,BD=12,請(qǐng)問在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似?并求BP的長(zhǎng);
(3)若AB=9,CD=4,BD=15,請(qǐng)問在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似?并求BP的長(zhǎng);
(4)若AB=m,CD=n,BD=l,請(qǐng)問m,n,l滿足什么關(guān)系時(shí),存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的一個(gè)P點(diǎn)??jī)蓚€(gè)P點(diǎn)?三個(gè)P點(diǎn)?
解:(1)存在P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
理由是:設(shè)BP=x,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°。
∴當(dāng)或時(shí),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
①若,則,解得:x=。
②若,則,即x2﹣10x+36=0,△=(﹣10)2﹣4×1×36<0,此方程無(wú)解。
∴存在P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,此時(shí)BP的值為。
(2)在BD上存在2個(gè)P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,
理由是:設(shè)BP=x,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°。
∴當(dāng)或時(shí),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
①若,則,解得:x=。
②若,則,即x2﹣12x+36=0,解得:x1=x2=6。
∴存在2個(gè)點(diǎn)P,使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,此時(shí)BP的值為或6。
(3)在BD上存在3個(gè)P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
理由是:設(shè)BP=x,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°。
∴當(dāng)或時(shí),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
①若,則,解得:x=。
②若,則,即x2﹣15x+36=0,解得:x1=3,x2=12。
∴存在3個(gè)點(diǎn)P ,使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,此時(shí)BP的值為或3或12。
(4)設(shè)BP=x,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°。
∴當(dāng)或時(shí),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
①若,則,解得:x=。
②若,則,即x2﹣lx+mn=0。
∵△=(﹣l)2﹣4×1×mn=l2﹣4mn,
∴當(dāng)l2﹣4mn<0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根;當(dāng)l2﹣4mn=0時(shí),方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)l2﹣4mn>0時(shí),方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
∴當(dāng)l2﹣4mn<0時(shí),存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的一個(gè)P點(diǎn);
當(dāng)l2﹣4mn=0時(shí),存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的兩個(gè)P點(diǎn);
當(dāng)l2﹣4mn>0時(shí),存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的三個(gè)P點(diǎn)。
【解析】(1)存在P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,設(shè)BP=x,根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或時(shí),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,代入求出即可。
(2)存在P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,設(shè)BP=x,根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或時(shí),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,代入求出即可。
(3)存在P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,設(shè)BP=x,根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或時(shí),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,代入求出即可。
(4)存在P點(diǎn),使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,設(shè)BP=x,根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)或時(shí)使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似,代入后根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可。
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