如圖,點P是⊙O的直徑BA延長線上一點,PC與⊙O相切于點C,CD⊥AB,垂足為D,連接AC、BC、OC,那么下列結(jié)論中:①PC2=PA•PB;②PC•OC=OP•CD;③OA2=OD•OP;④OA(CP-CD)=AP•CD,正確的結(jié)論有_____個.


  1. A.
    1
  2. B.
    2
  3. C.
    3
  4. D.
    4
D
分析:①證明△PBC∽△PCA,即可得到結(jié)論,這實際上是圓的切割線定理,正確;
②根據(jù)切線的性質(zhì)定理,得OC⊥PC,再根據(jù)直角三角形的面積公式即可證明結(jié)論,正確;
③根據(jù)直角三角形的射影定理,得OC2=OD•OP,再根據(jù)OA=OC,即可證明結(jié)論,正確;
④根據(jù)△APC的面積分析,顯然錯誤.
解答:①∵PC與⊙O相切于點C,∴∠PCB=∠A,∠P=∠P
∴△PBC∽△PCA,
∴PC2=PA•PB
②∵OC⊥PC,
∴PC•OC=OP•CD
③∵CD⊥AB,OC⊥PC,
∴OC2=OD•OP,
∵OA=OC
∴OA2=OD•OP
④∵AP•CD=•OC•CP+OA•CD,OA=OC
∴OA(CP-CD)=AP•CD
所以正確的有①,②,③④,共4個.
故選D.
點評:綜合運用切割線定理、射影定理、不同的角度表示同一個三角形的面積.
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