Question

已知直線(xiàn)y=kx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，0），且與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求k的值；
（2）求點(diǎn)O直線(xiàn)AB的距離；
（3）過(guò)點(diǎn)C（0，1）的直線(xiàn)把△AOB的面積分成相等的兩部分，求這條直線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）依題意得：-4k+3=0，
解得k=；

（2）由（1）得y=x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．
如圖，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于P，則線(xiàn)段OP的長(zhǎng)即為點(diǎn)O直線(xiàn)AB的距離．
∵S_△AOB=AB•OP=OA•OB，
∴OP===；

（3）設(shè)所求過(guò)點(diǎn)C（0，1）的直線(xiàn)解析式為y=mx+1．
S_△AOB=OA•OB=×4×3=6．
分兩種情況討論：
①當(dāng)直線(xiàn)y=mx+1與OA相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為D，則
S_△COD=OC•OD=×1×OD=3，
解得OD=6．
∵OD＞OA，
∴OD=6不合題意舍去；
②當(dāng)直線(xiàn)y=mx+1與AB相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為E，則
S_△BCE=BC•|x_E|=×2×|x_E|=3，
解得|x_E|=3，
則x_E=-3，
當(dāng)x=-3時(shí)，y=x+3=，
即E點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，）．
將E（-3，）代入y=mx+1，得-3m+1=，
解得m=．
故這條直線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1．
分析：（1）因?yàn)橹本�(xiàn)y=kx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，0），所以把點(diǎn)A的坐標(biāo)直接代入即可求出k的值；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于P，則線(xiàn)段OP的長(zhǎng)即為點(diǎn)O直線(xiàn)AB的距離，根據(jù)△AOB的面積不變列式，即可求解；
（3）設(shè)所求過(guò)點(diǎn)C（0，1）的直線(xiàn)解析式為y=mx+1，△AOB被分成的兩部分面積相等，那么被分成的兩部分都應(yīng)該是△AOB的面積的一半，分兩種情況討論：①直線(xiàn)y=mx+1與OA相交；②直線(xiàn)y=mx+1與AB相交．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)，難度適中，進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．