如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0),(0,3),過A,B,C三點(diǎn)的拋物的對稱軸為直線l,D為對稱軸l上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求當(dāng)AD+CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)以點(diǎn)A為圓心,以AD為半徑作⊙A.
①證明:當(dāng)AD+CD最小時(shí),直線BD與⊙A相切;
②寫出直線BD與⊙A相切時(shí),D點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo):______.

【答案】分析:(1)由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式.
(2)連接BC,交直線l于點(diǎn)D,根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì),點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱,∴AD=BD.
∴AD+CD=BD+CD,由“兩點(diǎn)之間,線段最短”的原理可知:D在直線BC上AD+CD最短,所以D是直線l與直線BC的交點(diǎn),
設(shè)出直線BC的解析式為y=kx+b,可用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式,故可求得BC與直線l的交點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)由(2)可知,當(dāng)AD+CD最短時(shí),D在直線BC上,由于已知A,B,C,D四點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)線段之間的長度,可以求出△ABD是直角三角形,即BC與圓相切.由于AB⊥l,故由垂徑定理知及切線長定理知,另一點(diǎn)D與現(xiàn)在的點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱,所以另一點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-2).
解答:解:
(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3).(1分)
將(0,3)代入上式,得3=a(0+1)(0-3).
解,得a=-1.(2分)∴拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-3).
即y=-x2+2x+3.(3分)

(2)連接BC,交直線l于點(diǎn)D.
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱,
∴AD=BD.(4分)
∴AD+CD=BD+CD=BC.
由“兩點(diǎn)之間,線段最短”的原理可知:
此時(shí)AD+CD最小,點(diǎn)D的位置即為所求.(5分)
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
由直線BC過點(diǎn)(3,0),(0,3),

解這個(gè)方程組,得
∴直線BC的解析式為y=-x+3.(6分)
由(1)知:對稱軸l為,即x=1.
將x=1代入y=-x+3,得y=-1+3=2.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2).(7分)
說明:用相似三角形或三角函數(shù)求點(diǎn)D的坐標(biāo)也可,答案正確給(2分).

(3)①連接AD.設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)E.
由(2)知:當(dāng)AD+CD最小時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2).
∴DE=AE=BE=2.
∴∠DAB=∠DBA=45度.(8分)
∴∠ADB=90度.
∴AD⊥BD.
∴BD與⊙A相切.(9分)
②∵另一點(diǎn)D與D(1,2)關(guān)于x軸對稱,
∴D(1,-2).(11分)
點(diǎn)評:本題考查拋物線與數(shù)軸交點(diǎn)問題,以及頂點(diǎn)坐標(biāo)公式,頂點(diǎn)與對稱軸之間的關(guān)系,圓與直線相切時(shí)的性質(zhì),兩點(diǎn)之間線段最短,垂徑定理和切線長定理等定理.
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18、如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-3,0),B(0,4),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形①、②、③、④…,則三角形⑦的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
(24,0)

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精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),將OP繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP′.
(1)在圖中畫出線段OP′;
(2)求P′的坐標(biāo)和
PP′
的長度.

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn).反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的
3
2
倍.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)如果經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)圖象與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,AC⊥x軸于點(diǎn)C,若△ABC的面積為9,求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.
(3)點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上,且點(diǎn)D在直線AC的右側(cè),作DE⊥x軸于點(diǎn)E,當(dāng)△ABC與△CDE相似時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-6,0),B(-4,6),C(0,2).畫出△ABC的兩個(gè)位似圖形△A1B1C1,△A2B2C2,同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:
(1)以原點(diǎn)O為位似中心;
(2)△A1B1C1,△A2B2C2與△ABC的面積比都是1:4.(作出圖形,保留痕跡,標(biāo)上相應(yīng)字母)

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(1)△AOB的面積是
6
6
;
(2)三角形(2013)的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)是
(8052,0)
(8052,0)

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