(2002•貴陽(yáng))如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(4,-),且在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為D,求四邊形DACB的面積;
(3)在x軸上方的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使得∠PAC被x軸平分?如果存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出拋物線的對(duì)稱軸方程,結(jié)合AB的長(zhǎng)度即可求出A、B的坐標(biāo),進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)根據(jù)拋物線的解析式易求得D點(diǎn)坐標(biāo),可將四邊形DACB的面積分成△DAB和△ABC兩部分來(lái)求;
(3)此題可通過(guò)構(gòu)建相似三角形求解,過(guò)P作PF⊥x軸于F,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E,若∠PAC被x軸平分,那么△APF∽△ACE,根據(jù)相似三角形所得到的比例線段即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答: 解:
(1)根據(jù)題意,得:OE=4,AE=BE=3
∴OA=1,OB=7即A(1,0)、B(7,0)
設(shè)y=a(x-1)(x-7)
∵x=4,y=-,∴a=
所求解析式為y=(x-1)(x-7)(或y=x2-x+

(2)連接DA、AC、BC、DB
當(dāng)x=0時(shí),y=,∴D(0,
∴S四邊形DACB=S△DAB+S△ACB==

(3)假設(shè)存在點(diǎn)P(x,y),使x軸平分∠PAC,過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸,垂足為點(diǎn)F
則△APF∽△ACE
=,即:
3()=
∴x2-11x+10=0,x1=10,x2=1
當(dāng)x=10時(shí),y=
當(dāng)x=1時(shí),y=0(不合題意,舍去)
∴P(10,3).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法以及相似三角形的判定和性質(zhì).
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(2)設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為D,求四邊形DACB的面積;
(3)在x軸上方的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使得∠PAC被x軸平分?如果存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(3)在x軸上方的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使得∠PAC被x軸平分?如果存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為D,求四邊形DACB的面積;
(3)在x軸上方的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使得∠PAC被x軸平分?如果存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2002•貴陽(yáng))已知:如圖,AB是⊙O的直徑,PB切⊙O于點(diǎn)B,PA交⊙O于點(diǎn)C,∠A=60°,∠APB的平分線PF分別交BC、AB于點(diǎn)D、E,交⊙O于點(diǎn)F、G,且BD•AE=2
(1)求證:△BPD∽△APE;
(2)求FE•EG的值;
(3)求tan∠BDE的值.

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