Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸交于A（x₁，0），B（x₂,0）兩點(diǎn)，其中x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的兩個根，且x₁<x₂，連接BC，AC．

（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Ｑ,使△QAC的周長最小，若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）點(diǎn)Ｍ在第一象限的拋物線上，當(dāng)△MBC的面積最大時，求點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式（2）存在；Q（5，）（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,2）

【解析】

試題分析：（1）解：解方程x²-10x+16=0，由x₁<x_2，得

x₁=2,x₂=8

∴A(2,0)  B(8,0);      

OA=2,OB=8

∵OC切⊙P于點(diǎn)C

∴∠ACO=∠ABC

∴ΔOCA∽OBC

∴OC²=OA·OB=16，OC＞0

∴OC=4 ∴C(0，-4)         

設(shè)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a(x-2)(x-8)

∴16a=-4 ∴a=

∴y=(x-2)(x-8)=        

(2)存在. ∵A,B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

∴直線BC與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q.      

用待定系數(shù)法易求直線BC的解析式為     

當(dāng)時，

∴Q（5，）     

（3）過點(diǎn)M作ME⊥BC與E,交軸于點(diǎn)D,作MN⊥CD于N

∴∠D＋∠DCE＝90°,而∠OBC＋∠OCB＝90°

∴∠D＝∠OBC＝∠OCA

∴ΔDMN∽ΔCAO∽ΔDCE          

∵OA＝2，OC＝4  ∴AC=

而,        

∴MN=,DN＝,DM＝

而ON＝   

DC＝

∴DE＝ 

∴ME=DE-DM=－

＝     

∴＝·

＝

＝          

即當(dāng)時，ΔBCM的面積最大.

在=中，時，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,2）          

考點(diǎn)：直線與圓相切，一元二次方程，拋物線

點(diǎn)評：本題考查直線與圓相切，一元二次方程，拋物線，掌握直線與圓相切的概念和性質(zhì)，會求一元二次方程的解，會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式