Question

對于二次函數(shù)C：y=x²-4x+6和一次函數(shù)l：y=-x+6，把y=t（x²-4x+6）+（1-t）（-x+6）稱為這兩個函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中，t是不為零的實數(shù)，其圖象記作拋物線E．設(shè)二次函數(shù)C和一次函數(shù)l的兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（1）求點A，B的坐標(biāo)，并判斷這兩個點是否在拋物線E上；
（2）二次函數(shù)y=-x²+5x+5是二次函數(shù)y=x²-4x+6和一次函數(shù)y=-x+6的一個“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由；
（3）若拋物線E與坐標(biāo)軸的三個交點圍成的三角形面積為6，求拋物線E的解析式．

Answer 1

解：（1）聯(lián)立，
消掉y得，x²-4x+6=-x+6，
整理得，x²-6x=0，
解得x₁=0，x₂=6，
∴y₁=6，y₂=-6+6=0，
∴點A（0，6），B（6，0），
當(dāng)x=0時，y=t（×0²-4×0+6）+（1-t）（-0+6）=6t+6-6t=6，
當(dāng)x=6時，y=t（×6²-4×6+6）+（1-t）（-6+6）=0，
∴點A、B在拋物線E上；

（2）∵拋物線E一定經(jīng)過點A、B，
而對于二次函數(shù)y=-x²+5x+5，當(dāng)x=0時，y=5≠6，
∴二次函數(shù)y=-x²+5x+5不是二次函數(shù)y=x²-4x+6和一次函數(shù)y=-x+6的一個“再生二次函數(shù)”；

（3）由（1）得，拋物線E與x軸的一個交點為B，與y軸的交點為A，
設(shè)拋物線E截x軸的線段長為a，則S=a×6=6，
解得a=2，
所以，與x軸的另一個交點為（4，0）或（8，0），
點（4，0）代入拋物線E得，y=t（×4²-4×4+6）+（1-t）（-4+6）=0，
解得t=，
此時y=（x²-4x+6）+（1-）（-x+6）=x²-x+6，
點（8，0）代入拋物線E得，y=t（×8²-4×8+6）+（1-t）（-8+6）=0，
解得t=，
此時，y=（x²-4x+6）+（1-）（-x+6）=x²-x+6．
分析：（1）聯(lián)立二次函數(shù)C與一次函數(shù)l的解析式，消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程再求出相應(yīng)的y的值，即可得到A、B的坐標(biāo)，然后把點A、B的坐標(biāo)代入拋物線E的解析式進(jìn)行驗證即可；
（2）根據(jù)拋物線E必過定點A、B，代入二次函數(shù)y=-x²+5x+5進(jìn)行驗證即可；
（3）設(shè)拋物線E截x軸的線段長為a，先利用三角形的面積求出a的長，再根據(jù)點B的坐標(biāo)求出與x軸的另一交點的坐標(biāo)，然后代入拋物線求解即可得到t的值，從而得解．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標(biāo)，驗證點是否在二次函數(shù)圖象上，三角形的面積，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，讀懂題目信息，理解“再生二次函數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．