Question

（2012•湛江模擬）已知，如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O為原點建立平面直角坐標系，A、B、C的坐標分別為A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D為OA的中點，動點P自A點出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動，速度為每秒1個單位，移動時間記為t秒．
（1）求過點O、B、A三點的拋物線的解析式；
（2）求AB的長；若動點P在從A到B的移動過程中，設△APD的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關系式，并指出自變量t的取值范圍；
（3）動點P從A出發(fā)，幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3兩部分？求出此時P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）設所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），把A（10，0）、B（4，8）、C（0，8）三點代入即可求出a、b、c的值，進而得出該拋物線的解析式；
（2）作BE⊥OA與E，OE=BC=4，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的長，作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
由OA•BE=AB•OF可求出OF及DH的長，進而可得出結論；
（3）先求出COAB的面積，由于點P的位置不能確定，故應分兩種情況進行討論：（i）當點P在AB上時，設點P的坐標為（x，y），由S_△APD=

1

4

S_梯形COAB，得

1

2

OD•y=

1

4

×56故可求出y的值，由S_△APD=

1

2

AP•DH=

1

2

t×4=14求出t的值，作BG⊥OA于G，由勾股定理即可得出x的值，進而得出結論；
（ii）當點P在OC上時，設點P的坐標為（0，y）．由S_△APD=

1

4

S_梯形COAB，得

1

2

AD•y=

1

4

×56故可求出y的值，此時t=10+4+（8-

28

5

）=16

2

5

，由此可得出點P₂的坐標．

解答：解：（1）設所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）
依題意，得

c=0 100a+10b=0 16a+4b=8

，
解得

a=- 1 3 b= 10 3 c=0

，
故所求拋物線的解析式為y=-

1

3

x²+

10

3

x；

（2）作BE⊥OA與E，OE=BC=4，
∵在Rt△ABE中，AE=OA-OE=6，BE=OC=8，
∴AB=

AE2+BE2

=10．
解法一：作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
∵OA•BE=AB•OF，
∴OF=

OA•BE

AB

=8，DH=

1

2

OF=4，
∴S=

1

2

AP•DH=

1

2

t×4=2t（0≤t≤10）；
解法二：∵

S△APD

S△ABD

=

AP

AB

，S_△ABD=

1

2

AD•BE=

1

2

×5×8=20．
∴

S

20

=

t

10

，
∴S=2t（0≤t≤10）；

（3）點P只能在AB或OC上才能滿足題意，
S_梯形COAB=

1

2

（BC+OA）•OC=

1

2

×（4+10）×8=56，
（�。┊旤cP在AB上時，設點P的坐標為（x，y），
由S_△APD=

1

4

S_梯形COAB，
得

1

2

OD•y=

1

4

×56，解得y=

28

5

，
由S_△APD=

1

2

AP•DH=

1

2

t×4=14，得t=7．
此時，作BG⊥OA于G，由勾股定理得（AO-x）²+y²=AP²，即（10-x）²+（

28

5

）²=7²，
解得x=

29

5

，即在7秒時有點P₁（

29

5

，

28

5

）滿足題意；
（ⅱ）當點P在OC上時，設點P的坐標為（0，y）．
由S_△APD=

1

4

S_梯形COAB，得

1

2

AD•y=

1

4

×56，解得y=

28

5

，
此時t=10+4+（8-

28

5

）=16

2

5

．   即在t=16

2

5

秒時，有點P₂（0，

28

5

）滿足題意；
綜上，在7秒時有點P₁（

29

5

，

28

5

），在16

2

5

秒時有點P₂（0，

28

5

）使PD將梯形COAB的面積分成1：3的兩部分．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，此題涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、梯形的面積公式及三角形的面積公式，根據題意作出輔助線，構造出三角形及梯形的高是解答此題的關鍵．