Question

不等式＞2對(duì)一切x都成立，則k的取值范圍為________．

Answer 1

2＜k＜10
分析：由不等式的分母可得（x+1）²-x對(duì)于一切x恒＞0，則把原不等式去分母移項(xiàng)合關(guān)同類項(xiàng)可得：x²+（k-2）x+2k-4＞0，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，即為根的判別式小于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍．
解答：∵x²+x+2=（x+1）²-x，對(duì)于一切x，（x+1）²-x＞0恒成立，
∴原不等式去分母，整理得：x²+（k-2）x+2k-4＞0，
∵當(dāng)x∈R時(shí)，不等式恒成立，
∴二次函數(shù)y=x²+（k-2）x+2k-4和x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
∴判別式小于0，即（k-2）²-4（2k-4）＜0，
整理得：k²-12k+20＜0，即（k-10）（k-2）＜0
解得：2＜k＜10，
則k的取值范圍是2＜k＜10．
故答案為：2＜k＜10
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解不等式，涉及到二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．當(dāng)題中有兩個(gè)未知字母時(shí)，應(yīng)把關(guān)于某個(gè)字母的不等式中的字母當(dāng)成未知數(shù)，求得解集，再根據(jù)解集進(jìn)行判斷，求得另一個(gè)字母的值．