Question

（2006•余姚市）如圖：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括A、B），過P作PQ⊥BC于Q，過Q作QR⊥AC于R，再過R作RS⊥AB于S．設(shè)AP=x，AS=y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍；
（2）若SP=，求AP的長(zhǎng)；
（3）若S、P重合點(diǎn)為T，試說(shuō)明當(dāng)P、S不重合時(shí)，P、S中的哪一個(gè)更接近T點(diǎn)？將上述操作，即按逆時(shí)針方向，過垂足作相鄰邊的垂線，若操作不斷進(jìn)行，試依據(jù)你的結(jié)論，猜想無(wú)論P(yáng)的初始位置如何，P、S…等這些點(diǎn)最終將會(huì)出現(xiàn)怎樣的趨勢(shì)？（只要直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可先在直角三角形PBQ中，用x表示出BQ的長(zhǎng)，然后在直角三角形ASR中用y表示出AR的長(zhǎng)，進(jìn)而在直角三角形QRC中用y表示出QC的長(zhǎng)，然后根據(jù)BQ+QC=1來(lái)得出y，x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）SP的長(zhǎng)實(shí)際就是y-x或x-y的值，可聯(lián)立（1）的函數(shù)關(guān)系式即可分別得出x即AP的長(zhǎng)．
（3）點(diǎn)S應(yīng)該更接近T點(diǎn)，點(diǎn)S將更接近點(diǎn)T，猜想無(wú)論P(yáng)的初始位置如何，P、S…這些點(diǎn)最終將會(huì)無(wú)限接近于點(diǎn)T．點(diǎn)T是AB邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，靠近點(diǎn)A的那一個(gè)，當(dāng)AP=，AB=1，那么BP=，BQ=，QC=，CR=，AR=，AS=．即S，P重合．
解答：解：（1）在直角三角形PBQ中，∠B=60°，BP=1-x，
∴BQ=（1-x）；
在直角三角形ASR中，∠A=60°，AS=y，
∴AR=2y；
在直角三角形CQR中，∠C=60°，RC=1-AR=1-2y，
∴CQ=2-4y
∵BC=1
∴（1-x）+2-4y=1，即y=-x+（0＜x＜1）

（2）當(dāng)S在P下方，
∵SP=，即y-x=
∴x+=-x+，解得x=
即AP=．
當(dāng)S在P上方，
∵SP=，即x-y=，
∴x-=-x+，解得x=
即AP=．


（3）S更加接近T．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)以及定點(diǎn)、定值問題．在涉及定點(diǎn)和定值的問題中一般都有變量或動(dòng)點(diǎn)，但最終的數(shù)值或點(diǎn)卻是一定的．解決這類問題，一般都可采用特殊值或特殊的位置，探得定值或定點(diǎn)，如果需要的話再考慮證明．