Question

巳知：如圖，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的半圓交AB于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D．當(dāng)AD²+AE²=5時(shí)，AD、AE（AD＞AE）是關(guān)于x的方程x²-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的兩個(gè)根．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）證明：CD的長(zhǎng)度是無(wú)理方程2

x-1

-x=1的一個(gè)根；
（3）以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、BC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求過(guò)A、B、D三點(diǎn)且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）本題可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用m表示出AD+AE和AD•AE的值，已知了AD²+AE²=5，將式子進(jìn)行適當(dāng)變形后即可求出m值．
（2）本題的關(guān)鍵是求出CD的長(zhǎng)，根據(jù)（1）得出的m的值，可求出AD，AE的長(zhǎng)，根據(jù)切割線定理即可求出AB的長(zhǎng)，在直角三角形ABC中，根據(jù)切線長(zhǎng)定理有CD=CB，而AC=CD+AD，AB的長(zhǎng)已求出，因此根據(jù)勾股定理即可求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可判斷出CD的長(zhǎng)是否為無(wú)理方程的一個(gè)跟．
（3）本題的關(guān)鍵是求出D的坐標(biāo)，可過(guò)D作DF⊥AB于F，那么可通過(guò)相似三角形求出DF和AF的長(zhǎng)，也就能得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求出過(guò)這三點(diǎn)的拋物線的解析式．

解答：（1）解：∵AD、AE是關(guān)于x的方程x²-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的兩個(gè)根，則有：
AD+AE=m-1，AD•AE=m-2；
又∵AD²+AE²=5，即（AD+AE）²-2AD•AE=5；
∴（m-1）²-2（m-2）=5，即m²-4m=0；
∴m₁=4，m₂=0；
∵m≠0，
∴m=4．

（2）證明：將m=4代入方程x²-（m-1）x+m-2=0中，得x²-3x+2=0，
解之得：x₁=2，x₂=1；
而AD、AE為此方程的兩根，且AD＞AE．
∴AD=2，AE=1
∵AD為⊙O的切線，AB為割線．
由切割線定理，得AD²=AE•AB．
即2²=1•AB；
∴AB=4．
∵∠B=90°，
∴BC為⊙O的切線．
而CD也為⊙O的切線，
因此CD=CB．
在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²，即4²+DC²=（2+CD）²，
∴CD=3．
將CD=3作為x的值代入無(wú)理方程2

x-1

-x=1中，得：左邊=右邊；
∴CD的長(zhǎng)是無(wú)理方程2

x-1

-x=1的一個(gè)根．

（3）解：過(guò)D作DF⊥AB于F，
∴CB⊥BA，
∴△AFD∽△ABC，
∴

DF

BC

=

AD

AC

，
∴

DF

3

=

2

5

，
∴DF=

6

5

，
又∵

AF

AB

=

AD

AC

，
∴AF=

8

5

，
∴BF=4-AF=

12

5

．
∴以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、BC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則有：
A（-4，0），B（0，0），D（-

12

5

，

6

5

），
∵過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸平行于y軸．
設(shè)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），則有：

16a-4b+c=0 c=0 (- 12 5 )2a- 12 5 b+c= 6 5

，
解得

a=- 5 16 b=- 5 4 c=0

，
∴過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-

5

16

x²-

5

4

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)解析式的確定、切割線定理、切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．