如圖1,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=2,點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作PF∥BC,交線段AC于點(diǎn)F.
(1)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,△APF的形狀
不變
不變
(填“改變”或“不變”).如果改變,請(qǐng)指出所有可能出現(xiàn)的形狀;如果不變,請(qǐng)指出它是什么三角形.答:
等腰直角三角形
等腰直角三角形

(2)如圖2以頂點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),線段AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)P從A出發(fā)的同時(shí),點(diǎn)Q從C出發(fā)沿BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng),它們的運(yùn)動(dòng)速度相同,連線PQ與邊AC交于點(diǎn)D.試解決以下兩個(gè)問(wèn)題:
①當(dāng)AP為何值時(shí),S△PCQ=
14
S△ABC;
②作PE⊥AC于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DE的長(zhǎng)度是否改變?證明你的結(jié)論.
分析:(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠A=∠C=45°,根據(jù)兩直線平行,同位角相等求出∠AFP=∠C=45°,從而判斷出△APF是等腰直角三角形;
(2)①設(shè)AP=CQ=x,表示出PB,然后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解;
②過(guò)Q作QF⊥AC交AC延長(zhǎng)線于F,利用“角角邊”證明△QCF和△PAE全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CF,EP=QF,從而得出AC=EF,再利用“角角邊”證明△EPD和△FQD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF,從而得解.
解答:(1)解:∵∠B=90°,AB=BC,
∴∠A=∠C=45°,
∵PF∥BC,
∴∠AFP=∠C=45°,
∴△APF是等腰直角三角形,
故答案為:不變,等腰直角三角形;

(2)①解:設(shè)AP=CQ=x,則BP=2-x,
∵S△PCQ=
1
4
S△ABC,
1
2
x(2-x)=
1
4
×(
1
2
×2×2),
整理得,x2-2x+1=0,
解得x=1,
∴AP=1;

②答:DE的長(zhǎng)度不改變,是個(gè)定值.
證明:如圖,過(guò)Q作QF⊥AC交AC延長(zhǎng)線于F,
則∠QCF=∠ACB=∠A=45°,
∵PE⊥AC,
∴∠AEP=90°,
∴∠AEP=∠F=90°,
∵點(diǎn)P、Q的速度相等,
∴AP=CQ,
在△QCF和△PAE中,
∠QCF=∠A
∠AEP=∠F=90°
AP=CQ
,
∴△QCF≌△PAE(AAS),
∴AE=CF,EP=QF,
∴AC=AE+EC=CF+EC=EF,
在△EPD和△FQD中,
∠AEP=∠F=90°
∠QDF=∠PDE
EP=QF

∴△EPD≌△FQD(AAS),
∴DE=DF,
∴DE=
1
2
EF=
1
2
AC,
∵∠B=90°,AB=BC=2,
∴AC=
AB2+BC2
=
22+22
=2
2
,
∴DE=
1
2
×2
2
=
2
是定值.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)與判定,三角形的面積,難點(diǎn)在于(2)②作輔助線構(gòu)造出全等三角形并二次證明三角形全等.
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已知:如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn).以BD為直徑作圓O,交邊AB于點(diǎn)P,連接PC,交AD于點(diǎn)E.
(1)求證:AD是圓O的切線;
(2)當(dāng)∠BAC=90°時(shí),求證:
PE
CE
=
1
2

(3)如圖2,當(dāng)PC是圓O的切線,E為AD中點(diǎn),BC=8,求AD的長(zhǎng).精英家教網(wǎng)

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我們給出如下定義:有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)寫(xiě)出一個(gè)你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱;
(2)如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC上,且CD=CA,點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn),連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.求證:四邊形AGEC是等鄰角四邊形;
(3)如圖2,若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部,(2)中的其他條件不變,EF與CD交于點(diǎn)H,圖中是否存在等鄰角四邊形,若存在,指出是哪個(gè)四邊形,不必證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)精英家教網(wǎng)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知:如圖1,在四邊形ABCD中,BC⊥CD,∠ACD=∠ADC.求證:AB+AC>
BC2+CD2
;
(2)已知:如圖2,在△ABC中,AB上的高為CD,試判斷(AC+BC)2與AB2+4CD2之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,AD和AE分別是△ABC的BC邊上的高和中線,點(diǎn)D是垂足,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),規(guī)定:λA=
DE
BD
.如圖2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,λC=
1
3
1
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在△ABC中,∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O.
(1)求證:∠AOC=90°+
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∠ABC;
(2)當(dāng)∠ABC=90°時(shí),且AO=3OD(如圖2),判斷線段AE,CD,AC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

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