Question

【題目】知識背景

我們在第十一章《三角形》中學習了三角形的邊與角的性質，在第十二章《全等三角形》中學習了全等三角形的性質和判定，在十三章《軸對稱》中學習了等腰三角形的性質和判定．在一些探究題中經常用以上知識轉化角和邊，進而解決問題

問題初探

如圖（1），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC上一點，連接AD，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，連接BE，猜想BE和CD有怎樣的數量關系，并說明理由．

類比再探

如圖（2），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M是AB上一點，點D是BC上一點，連接MD，以MD為一邊作△MDE，使∠DME＝90°，MD＝ME，連接BE，則∠EBD＝　 　．（直接寫出答案，不寫過程，但要求作出輔助線）

方法遷移

如圖（3），△ABC是等邊三角形，點D是BC上一點，連接AD，以AD為一邊作等邊三角形ADE，連接BE，則BD、BE、BC之間有怎樣的數量關系？　 　（直接寫出答案，不寫過程）．

拓展創(chuàng)新

如圖（4），△ABC是等邊三角形，點M是AB上一點，點D是BC上一點，連接MD，以MD為一邊作等邊三角形MDE，連接BE．猜想∠EBD的度數，并說明理由．

Answer 1

【答案】問題初探：BE＝CD，理由見解析；類比再探：∠EBD＝90°，輔助線見解析；方法遷移：BC＝BD+BE；拓展創(chuàng)新：∠EBD＝120°，理由見解析

【解析】

問題初探：根據余角的性質可得∠BAE＝∠CAD，然后可根據SAS證明△BAE≌△CAD，進而可得結論；

類比再探：過點M作MF∥AC交BC于點F，如圖（5），可得△BMF是等腰直角三角形，仿問題初探的思路利用SAS證明△BME≌△FMD，可得∠MBE＝∠MFD=45°，進而可得結果；

方法遷移：根據等邊三角形的性質和角的和差關系可得∠BAE＝∠CAD，然后可根據SAS證明△BAE≌△CAD，進而可得結論；

拓展創(chuàng)新：過點M作MG∥AC交BC于點G，如圖（6），易證△BMG是等邊三角形，仿方法遷移的思路利用SAS證明△BME≌△GMD，可得∠MBE＝∠MGB＝60°，進而可得結論．

解：問題初探：BE＝CD．

理由：如圖（1），∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，

∵AB＝AC，AE＝AD，

∴△BAE≌△CAD（SAS），

∴BE＝CD；

類比再探：

在圖（2）中過點M作MF∥AC交BC于點F，如圖（5），則∠BMF=∠A=90°，∠BFM=∠C=45°，∴MB=MF，

∵∠DME＝∠BMF＝90°，∴∠BME＝∠DMF，

∵MB＝MF，ME＝MD，

∴△BME≌△FMD（SAS），

∴∠MBE＝∠MFD=45°；

∴∠EBD＝∠MBE+∠ABC＝90°．

故答案為：90°；

方法遷移：BC＝BD+BE．

理由：如圖（3），∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，

∵AB＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），

∴BE＝CD，∴BC＝BD+CD＝BD+BE；

拓展創(chuàng)新：∠EBD＝120°．

理由：在圖（4）中過點M作MG∥AC交BC于點G，如圖（6），則∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°，

∴△BMG是等邊三角形，∴BM=GM，

∵∠DME＝∠BMG＝60°，∴∠BME＝∠DMG，

∵ME＝MD，∴△BME≌△GMD（SAS），

∴∠MBE＝∠MGB＝60°，

∴∠EBD＝∠MBE+∠MBG＝120°．