Question

（2008•無錫）已知拋物線y=ax²-2x+c與它的對稱軸相交于點A（1，-4），與y軸交于C，與x軸正半軸交于B．
（1）求這條拋物線的函數(shù)關系式；
（2）設直線AC交x軸于D，P是線段AD上一動點（P點異于A，D），過P作PE∥x軸交直線AB于E，過E作EF⊥x軸于F，求當四邊形OPEF的面積等于時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知拋物線的頂點就是A點，因此可將A的坐標代入拋物線的解析式中，并根據(jù)對稱軸x==1，聯(lián)立方程組即可求出a，c的值，進而可得出拋物線的解析式．
（2）四邊形OPEF是個直角梯形，可先求出AD，AB所在直線的解析式，根據(jù)AD所在直線的解析式設出P的坐標，又由于PE∥x軸，P、E兩點的縱坐標相同，然后根據(jù)AB所在直線的解析式得出E點的坐標，進而可求出F點的坐標．根據(jù)求出的P、E、F三點坐標，可得出梯形的上下底OF、EP的長以及直角梯形的高EF的長（即E點縱坐標的絕對值），根據(jù)梯形的面積公式即可得出關于梯形的面積與P點坐標的函數(shù)解析式，然后將S=代入函數(shù)中即可求出P點的坐標．
解答：解：（1）由題意，知點A（1，-4）是拋物線的頂點，
∴
∴a=1，c=-3，
∴拋物線的函數(shù)關系式為y=x²-2x-3．

（2）由（1）知，點C的坐標是（0，-3）．
設直線AC的函數(shù)關系式為y=kx+b，
則
∴b=-3，k=-1，
∴y=-x-3．
由y=x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3，
∴點B的坐標是（3，0）．
設直線AB的函數(shù)關系式是y=mx+n，
則解得m=2，n=-6．
∴直線AB的函數(shù)關系式是y=2x-6．
設P點坐標為（x_P，y_P），則y_P=-x_P-3．
∵PE∥x軸，
∴E點的縱坐標也是-x_P-3．
設E點坐標為（x_E，y_E），
∵點E在直線AB上，
∴-x_P-3=2x_E-6，
∴x_E=．
∵EF⊥x軸，
∴F點的坐標為（，0），
∴PE=x_E-x_P=，OF=，EF=-（-x_P-3）=x_P+3，
∴S_{四邊形OPEF}=（PE+OF）•EF=（+）•（x_P+3）=，
2x_P²+3x_P-2=0，
∴x_P=-2，，
當y=0時，x=-3，
而-3＜-2＜1，，
∴P點坐標為和（-2，-1）
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的綜合應用．