Question

如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在斜邊AB內(nèi)部時(shí)，求證：．
（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，第（1）小題中的等式是否存在？請(qǐng)說明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，第（1）小題中的等式是否存在？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

證明：（1）作DE⊥BC，垂足為E．由勾股定理得
所以．
因?yàn)镈E∥AC，所以．
故．

（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，第（1）小題中的等式仍然成立．
此時(shí)有AD=0，CD=AC，BD=AB．
所以，
．
從而第（1）小題中的等式成立．

（3）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，第（1）小題中的等式不成立．

作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則
而，
所以．
分析：（1）作DE⊥BC，求證即可；
（2）D點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，AD=0，CD=AC，BD=AB，故（1）結(jié)論成立；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）結(jié)論不成立，作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，即可求證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的靈活運(yùn)用，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題中（1）中求證
是解題的關(guān)鍵．