Question

如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），OABC為矩形，反比例函數(shù)的圖象過AB的中點(diǎn)D，且和BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為第一象限的點(diǎn)，AF=12，CF=13．
（1）求反比例函數(shù)和直線OE的函數(shù)解析式；
（2）求四邊形OAFC的面積？

Answer 1

解：（1）依題意，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2），
將D（3，2）代入，得k=6．
∴反比例函數(shù)的解析式為；
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，4），將其代入，得m=，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，4），
設(shè)直線OE的解析式為y=k₁x，
將（，4）代入得k₁=，
∴直線OE的解析式為y=x；

（2）連接AC，如圖，
在Rt△OAC中，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
而AF=12，CF=13．
∴AC²+AF²=5²+12²=13²=CF²，
∴∠CAF=90°，
∴S_{四邊形OAFC}=S_△OAC+S_△CAF
=×3×4+×5×12
=6+30
=36．
分析：（1）易得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2），把D（3，2）代入，得k=6，確定反比例函數(shù)的解析式；設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，4），將其代入，得m=，確定點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，4），然后利用待定系數(shù)法可求出直線OE的解析式；
（2）連接AC，在Rt△OAC中，OA=3，OC=4，利用勾股數(shù)易得AC=5，則有AC²+AF²=5²+12²=13²=CF²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠CAF=90°，于是四邊形OAFC的面積可化為兩個直角三角形的面積進(jìn)行計(jì)算．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了待定系數(shù)法和勾股定理及其逆定理以及不規(guī)則圖形面積的計(jì)算方法．