Question

如圖，將邊長為4的等邊三角形AOB放置于平面直角坐標(biāo)系xoy中，F是AB邊上的動點(diǎn)(不與端點(diǎn)A、B重合)，過點(diǎn)F的反比例函數(shù)與OA邊交于點(diǎn)E，過點(diǎn)F作FC⊥x軸于點(diǎn)C，連結(jié)EF、OF．

(1)若，求反比例函數(shù)的解析式；

(2)在(1)的條件下，試判斷以點(diǎn)E為圓心，EA長為半徑的圓與y軸的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)AB邊上是否存在點(diǎn)F，使得EF⊥AE？若存在，請求出BF∶FA的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設(shè)F(x，y)，(x＞0，y＞0)． 　　則OC＝x，CF＝y　1分 　　∴．　2分 　　∴xy＝． 　　∴k＝．　3分 　　∴反比例函數(shù)解析式為y＝(x＞0)．4分 　　(2)該圓與y軸相離．　5分 　　理由：過點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，過點(diǎn)E作EG⊥y軸，垂足為G． 　　在△AOB中，OA＝AB＝4，∠AOB＝∠ABO＝∠A＝． 　　設(shè)OH＝m，則． 　　∴EH＝m，OE＝2m． 　　∴E坐標(biāo)為(m，m)．　6分 　　∵E在反比例y＝圖像上， 　　∴m＝． 　　∴m1＝，m2＝－(舍去)． 　　∴OE＝，EA＝，EG＝　7分 　　∵＜， 　　∴EA＜EG． 　　∴以E為圓心，EA垂為半徑的圓與y軸相離．　8分 　　(3)存在．　9分 　　方法一：假設(shè)存在點(diǎn)F，使AE⊥FE．過點(diǎn)F作FC⊥OB于點(diǎn)C，過E點(diǎn)作EH⊥OB于點(diǎn)H． 　　設(shè)BF＝x． 　　∵△AOB是等邊三角形， 　　∴AB＝OA＝OB＝4，∠AOB＝∠ABO＝∠A＝． 　　∴BC＝FB·cos∠FBC＝ 　　FC＝FB·sin∠FBC＝ 　　∴AF＝4－x，OC＝OB－BC＝4－ 　　∵AE⊥FE 　　∴AE＝AF·cos∠A＝2－ 　　∴OE＝OA－AE＝＋2 　　∴OH＝OE·cos∠AOB＝， 　　EH＝OE·sin∠AOB＝ 　　∴E(，)，F(xiàn)(4－，)　11分 　　∵E、F都在雙曲線y＝的圖象上， 　　∴()()＝(4－) 　　解得x1＝4，x2＝．12分 　　當(dāng)BF＝4時(shí)，AF＝0，不存在，舍去． 　　當(dāng)BF＝時(shí)，AF＝，．　13分 　　方法二：假設(shè)存在點(diǎn)F，使AE⊥FE．過E點(diǎn)作EH⊥OB于H． 　　∵△AOB是等邊三角形，設(shè)E(m，m)，則OE＝2m，AE＝4－2m． 　　∴AB＝OA＝AB＝4，∠AOB＝∠ABO＝∠A＝． 　　∵， 　　∴AF＝2AE＝8－4m，FB＝4m－4． 　　∴FC＝FB·sin∠FBC＝m－，BC＝FB·cos∠FBC＝2m－2． 　　∴OC＝6－2m 　　∴F(6－2m，m－)．　11分 　　∵E、F都在雙曲線y＝上， 　　∴m·m＝(6－2m)(m－) 　　化簡得：5m2－16m＋12＝0 　　解得：m1＝2，m2＝．　12分 　　當(dāng)m＝2時(shí)，AF＝8－4m＝0，BF＝4，F與B重合，不合題意，舍去． 　　當(dāng)m＝時(shí)，AF＝8－4m＝，BF＝4－＝． 　　∴．　13分