Question

如圖，在△ABC中，過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線(xiàn)把△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形，且∠C是其中一個(gè)等腰三角形的頂角．
（1）當(dāng)∠C=40°時(shí)，∠ABC是多少度？說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)∠C為△ABC中最小角時(shí)，那么∠A也能為另外一個(gè)等腰三角形的頂角嗎？為什么？并探究∠ABC與∠C之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）過(guò)B作直線(xiàn)BE交AC于D．可以求出∠DBC和∠ADB的度數(shù)，從而求解；
（2）由于同一個(gè)三角形中內(nèi)角不能存在兩個(gè)鈍角，反證法即可得出）∠A不能為另一等腰三角形的頂角，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解．

解答：解：（1）過(guò)B作直線(xiàn)BE交AC于D．
∵∠C為頂角，
∴∠DBC=∠CDB=

180°-40°

2

=70°，
∴∠ADB=110°，∠ABD=∠A=

180°-110°

2

=35°
∴∠ABC=35°+70°=105°．

（2）∠A不能為另一等腰三角形的頂角．
∵∠ADB=∠C+

180°-∠C

2

=90°+

1

2

∠C，
∴∠ADB為鈍角，
又∵同一個(gè)三角形中內(nèi)角不能存在兩個(gè)鈍角，
∴∠A不能為頂角．
當(dāng)∠ADB為頂角時(shí)，∠ABC=∠ABD+∠DBC=

1

2

∠CDB+∠DBC=

3

2

∠CDB=135°-

3

4

∠C．

點(diǎn)評(píng)：考查了等腰三角形的性質(zhì)，注意同一個(gè)三角形中內(nèi)角不能存在兩個(gè)鈍角．