Question

有一個凸十一邊形，它由若干個邊長為1的正三角形和邊長為1的正方形無重疊、無間隙地拼成，求此凸十一邊形各內角的大小，并畫出一個這樣的凸十一邊形的草圖．

Answer 1

解：因為凸十一邊形是由正三角形和正方形拼成的，
所以各內角的大小只可能是60°，90°，120°，150°．
設這4個角的個數分別為x、y、n、m，由題意得：
，
消去m得：3x+2y+n=1，
∵x，y，n均為非負整數，
∴正整數解為：x=y=0，n=1，m=10，
故凸十一邊形一個角是120°，其余10個角都是150°．
如圖所示．
分析：由凸十一邊形由若干個邊長為1的等邊三角形和邊長為1的正方形無重疊，則角只有60°，90°，120°，150°這4種可能，然后設出各度數角的個數并列出方程組，求出非負整數解．
點評：此題主要考查了正三角形和正方形的定義，還考查了多邊形的內角和定理及鑲嵌的概念，是一道綜合題，有一定的難度，注意運用各度數角的個數均為非負整數是解本題方程組的關鍵．