在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為x=2,且經(jīng)過(guò)B(0,4),C(5,9),直線BC與x軸交于點(diǎn)A.
(1)求出直線BC及拋物線的解析式.
(2)D(1,y)在拋物線上,在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在兩點(diǎn)M、N,且MN=2,點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方,使得四邊形BDNM的周長(zhǎng)最小,若存在,求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)現(xiàn)將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交于另一點(diǎn)P,請(qǐng)找出拋物線上所有滿(mǎn)足到直線BC距離為的點(diǎn)P.
解:(1)設(shè)BC直線解析式:y=kx+b 根據(jù)題意得: 直線BC的解析式為:y=x+4 1分 ∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=2 設(shè)拋物線的解析式為 根據(jù)題意得 拋物線的解析式為 (2)∵若四邊形BDNM的周長(zhǎng)最短,求出BM+DN最短即可 ∵點(diǎn)D拋物線上,∴D(1,1)∴D點(diǎn)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是D1(3,1) ∵B(0,4)∴將B點(diǎn)向下平移2個(gè)單位得到B1(0,2) 3分 ∴直線B1D1交直線x=2于點(diǎn)N, ∵直線B1D1的解析式為: ∴N ∵M(jìn)N=2 ∴M (3)將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點(diǎn)P,設(shè)P到直線BC的距離為h, 故P點(diǎn)應(yīng)在與直線BC平行,且相距 由平行線的性質(zhì)可得:兩條平行直線與y軸的交點(diǎn)到直線BC的距離也為 如圖,設(shè)l1與y軸交于E點(diǎn),過(guò)E作EF⊥BC于F點(diǎn), 在Rt△BEF中 ∴BE=6.∴可以求得直線l1與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,10) 同理可求得直線l2與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2) 7分 ∴兩直線解析式 根據(jù)題意列出方程組:(1) (2) ∴解得: ∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有四個(gè),它們分別是P1(6,16),P2(-1,9),P3(2,0),P4(3,1) 8分 |
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