Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的角平分線與AB相交于點F，與CB的延長線相交于點E連接AE．

（1）求證：四邊形AEBD是菱形．

（2）若四邊形ABCD是菱形，DC＝10，則菱形AEBD的面積是　 　．（直接填空，不必證明）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠BED=∠BDE，可得BE=BD，即可證四邊形AEBD是平行四邊形，且DB=DA，可得結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)可得AD=AB=10=DB，AB⊥DE，由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)可得AF=5，DF=，即可求菱形AEBD的面積．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DEB，

∵DE平分∠ADB，

∴∠ADE＝∠BDE，

∴∠BED＝∠BDE，

∴BE＝BD，且BD＝DA，

∴AD＝BE，且AD∥BE，

∴四邊形ADBE是平行四邊形，且AD＝BD

∴四邊形AEBD是菱形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝AD＝CD＝10，且AD＝BD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠BAD＝60°，

∵四邊形AEBD是菱形，

∴AF＝BF，AB⊥DE，EF＝DF，

∴∠ADF＝30°，

∴AF＝5，DF＝5，

∴DE＝10，

∴菱形AEBD的面積＝×10×10＝50，

故答案為：50.