Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（8，0）、B（6，2

3

）、C（0，2

3

），有兩點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)分別作勻速運(yùn)動，其中點(diǎn)P沿AB、BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動，速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)這兩個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)這兩點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動了t秒．
（1）動點(diǎn)P與Q哪一點(diǎn)先到達(dá)自己的終點(diǎn)？此時(shí)t為何值？
（2）若⊙B的半徑為1，t為何值時(shí)以PQ為半徑的⊙P既與⊙B相切又與AD相切？
（3）以PQ為直徑的圓能否與CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范圍，若不可能請說明理由．

Answer 1

分析：（1）此題主要是求得AB的長，作BM⊥AD于M，根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)運(yùn)用勾股定理求得AB=4，同時(shí)發(fā)現(xiàn)30°的直角三角形ABM；根據(jù)題意，得點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間=（4+6）÷2=5秒，點(diǎn)Q運(yùn)動的時(shí)間=8÷1=8秒，故點(diǎn)P先到達(dá)終點(diǎn)；
（2）根據(jù)路程=速度×?xí)r間，則AP=2t，所以BP=4-2t；根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的30°的直角三角形，結(jié)合AP=2AQ，發(fā)現(xiàn)PQ∥BM，則△APQ也是30°的直角三角形，從而求得PQ=

3

t；再根據(jù)兩圓相切，可能內(nèi)切，也可能外切，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑之差；當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑之和列方程計(jì)算；
（3）若以PQ為直徑的圓能與CD相切，則點(diǎn)P一定運(yùn)動到了BC上；設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，過M作MN⊥y軸于N，過P點(diǎn)作PH⊥x軸于H；根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，表示出PQ的長，再根據(jù)勾股定理列方程求解．

解答：解：（1）作BM⊥AD于M；
∵B（6，2

3

），
∴DM=6，BM=2

3

；
∵A（8，0），
∴AM=8-6=2，
∴AB=

BM2+AM2

=4，
∴P點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為：t=（BC+AB）÷2=5秒，
此時(shí)Q在距A點(diǎn)5個(gè)單位處，
∴P點(diǎn)先到達(dá)，此時(shí)t=5秒；

（2）∵由（1）可知∠BAM=30°；
∵AP：AQ=2：1，
∴PQ∥BM，
∴△PMA為直角三角形；
∵AB=4，
∴PQ=

3

t，AP=2t，BP=4-2t，
∴

3

t±1=4-2t，（5分）
t=3（2-

3

）（7分）或t=5（2-

3

）；（8分）

（3）t=

13- 15

2

時(shí)，以PQ為直徑的圓能與CD相切，（9分）
設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，過M作MN⊥y軸于N，過P點(diǎn)作PH⊥x軸于H；
依題意得：CP+OQ=2MN
10-2t+8-t=PQ
即（18-3t）²=PQ²=（2

3

）²+[（8-t）-（10-2t）]²，
化簡得：2t²-26t+77=0，（10分）
t=

13+ 15

2

或

13- 15

2

，
又t≤5，故取t=

13- 15

2

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系、兩圓的位置關(guān)系、以及勾股定理．能夠從中發(fā)現(xiàn)特殊的直角三角形是解題的關(guān)鍵．