Question

【題目】已知函數(shù)y＝（n為常數(shù)）．

（1）當(dāng)n＝1時(shí)，

①點(diǎn)P（﹣3，m）在此函數(shù)圖象上，求m的值．

②當(dāng)﹣4≤x≤3時(shí)，求此函數(shù)的最大值和最小值．

（2）當(dāng)x＜n時(shí)，若此函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，求n的取值范圍．

（3）若n＞0，當(dāng)此函數(shù)的圖象與以A（0，3）、B（5，﹣2）、C（﹣5，﹣2）、D（﹣5，3）為頂點(diǎn)的四邊形的邊有且只有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①-1；②最大值為5，最小值為﹣6；（2）0＜n≤；（3）1＜n≤或2.6＜n＜2.9．

【解析】

（1）①利用待定系數(shù)法解決問題即可．
②分別求出分段函數(shù)在-4≤x≤3上的最大值以及最小值即可解決問題．
（2）分n＞0，n=0，n＜0三種情形畫出圖形分別求解即可．
（3）分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)四邊形ABCD與函數(shù)y=-x2-2nx+2（x＜n）有3個(gè)交點(diǎn)，與函數(shù)y=x2-2nx+2（x≥n）有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，如圖3-2中，當(dāng)四邊形ABCD與函數(shù)y=-x2-2nx+2（x＜n）有2個(gè)交點(diǎn)，與函數(shù)y=x2-2nx+2（x≥n）有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
分別構(gòu)建不等式組解決問題即可．

（1）n＝1時(shí)，函數(shù)為y＝，

①∵P（﹣3，m）在函數(shù)圖象上，

∴m＝﹣9+6+2＝﹣1．

②當(dāng)﹣4≤x＜1時(shí)，y＝﹣x2﹣2x+2，最小值為﹣16+8+2＝﹣6，最大值為﹣1+2+2＝3，

當(dāng)1＜x≤3時(shí)，y＝x2﹣2x+2，最小值為1﹣2+2＝1，最大值為9﹣6+2＝5，

綜上所述，當(dāng)﹣4≤x≤3時(shí)，此函數(shù)的最大值為5，最小值為﹣6．

（2）①當(dāng)n＞0時(shí)，圖象如圖所示，

當(dāng)函數(shù)y＝﹣x2﹣2nx+2，x＝n時(shí)，y≥0即可滿足條件，

∴﹣n2﹣2n2+2≥0，

解得﹣≤n≤，

∵n＞0，

∴0＜n≤．

②當(dāng)n＝0時(shí)，顯然不符合題意．

③當(dāng)n＜0時(shí)，不存在符合條件的n的值．

綜上所述，滿足條件的n的值為0＜n≤．

（3）如圖3﹣1中，當(dāng)四邊形ABCD與函數(shù)y＝﹣x2﹣2nx+2（x＜n）有3個(gè)交點(diǎn)，與函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（x≥n）有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

滿足：，

解得1＜n≤．

如圖3﹣2中，當(dāng)四邊形ABCD與函數(shù)y＝﹣x2﹣2nx+2（x＜n）有2個(gè)交點(diǎn)，與函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（x≥n）有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

滿足：，

解得2.6＜n＜2.9．

綜上所述，滿足條件的n的值為1＜n≤或2.6＜n＜2.9．