Question

如圖，已知拋物線y＝x²＋3mx＋18m²－m與x軸交于A(x₁，0)、B(x₂，0)(x₁＜x₂)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，b)，O為原點(diǎn)．

(1)求m的取值范圍；

(2)若m＞，且OA＋OB＝3OC．求拋物線的解析式及A、B、C的坐標(biāo)；

(3)在(2)的情形下，點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)以相同的速度沿AB、OC向B、C運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ與BC交于M．設(shè)AP＝k，問(wèn)是否存在k值，使以P、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，求所有k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依題意有： 　　Δ＝(3m)2－4×(18m2－m) 　�。�m＞0， 　　∴m＞0． 　　(2)∵m＞， 　　∴x1＋x2＝－24m＜0， 　　x1·x2＝8m(18m－1)＞0． 　　∴x1＜0，x2＜0． 　　∴b＝m(18m－1)＞0． 　　∵OA＋OB＝3OC， 　　∴－x1－x2＝3(18m2－m)， 　　即24m＝3(18m2－m)． 　　∴m＝0(舍去)或m＝． 　　∴y＝x2＋x＋4． 　　∴A(－8，0)，B(－4，0)，C(0，4)． 　　(3)當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)到適當(dāng)?shù)奈恢�，使PO∥AC時(shí)，△ABC∽△PBM，此時(shí)有＝，即＝，解之得k＝． 　　當(dāng)PQ不平行于AC，∠CAB＝∠PMB時(shí)，△ABC∽△MBP．過(guò)B作AC的垂線，D為垂足，∵sinA＝＝，∴BD＝． 　　∵∠ACB＝∠MPB．∴Rt△CDB∽R(shí)t△POQ， 　　∴＝，即＝．顯然0＜k＜4，解之得k＝2． 　　綜上可知，存在k＝或2時(shí)，使得以P、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

提示：

本題難在第(3)小題，解此題時(shí)首先要揭示題目中一些表述的實(shí)質(zhì)是什么．譬如“點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿AB、OC向B、C運(yùn)動(dòng)”，這就是說(shuō)AP＝OQ；“使P、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似”，由于∠B是兩個(gè)三角形△PBM與△ABC的公共角，所以△PBM相似于△ABC．可能有下述兩種情形： 　�、佟螩AB＝∠MPB，此時(shí)PM∥AC，即PQ∥AC，由此得出比例式，并試求k的值． 　　②∠CAB＝∠PMB，此時(shí)可作AC的垂線BD，進(jìn)而尋求適當(dāng)?shù)南嗨迫�角形，再通過(guò)比例式求k的值． 　　這里的情形②往往容易被解題者忽略，而且輔助線BD的添置也有一定的難度． 　　綜合題的題目一般較長(zhǎng)，它往往包含若干小題，涉及的知識(shí)點(diǎn)也較多，同學(xué)們要解好綜合題，首先要有比較扎實(shí)的基本功，還要有良好的心理素質(zhì)．要沉得住氣，靜下心來(lái)，循序漸進(jìn)，這樣就能取得好的成績(jī)．