Question

如圖，在平面直角坐標系中．正方形OABC的邊長是4，點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，動點P從點A開始，以每秒2個單位長度的速度在線段AB上來回運動．動點Q從點B開始沿B→C→O的方向．以每秒1個單位長度的速度向點O運動．P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點O時，P、Q兩點間時停止運動．設運動時間為t．△OPQ的面積為S．
（I）當t=1時，S=

5

．
（2）當0≤t≤2時．求滿足△BPQ的面積有最大值的P、Q兩點坐標．
（3）在P，Q兩點運動的過程中，是否存在某一時刻，使用S=6？若存在．請直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在．請說明理由．

Answer 1

分析：（1）△OPQ的面積=正方形的面積-△OAP的面積-△OCQ的面積-△BPQ的面積，依此列式計算即可求解；
（2）由題意得，當0≤t≤2時，PA=2t，PB=4-2t，BQ=t，CQ=4-t．根據(jù)三角形面積可得△BPQ的面積=-（t-1）²+1，
依此即可求解；
（3）分當0≤t≤2時，當2＜t≤4時，當4＜t＜8時，三種情況討論可求符合條件的P點坐標．

解答：解：（1）當t=1時，AP=2，BQ=1，則BP=2，CQ=3，
△OPQ的面積=4×4-

1

2

×4×2-

1

2

×4×3-

1

2

×2×1=16-4-6-1=5；

（2）由題意得，當0≤t≤2時，PA=2t，PB=4-2t，BQ=t，CQ=4-t．
△BPQ的面積=

1

2

PB•BQ=

1

2

t（4-2t）=-t²+2t=-（t-1）²+1，
故當t=1時，△BPQ的面積的最大值是1．
此時，P（2，4）、Q（4，3）．

（3）當0≤t≤2時，PA=2t，PB=4-2t，BQ=t，CQ=4-t．
S=4×4-

1

2

×4×2t-

1

2

t（4-2t）-

1

2

×4（4-t）=6，
解得t₁=2-

2

，t₂=2+

2

（不合題意舍去），
P點坐標為（4-2

2

，4）；
當2＜t≤4時，OQ=4-t．
S=4×4-

1

2

×4×（8-2t）-

1

2

t（2t-4）-

1

2

×4（4-t）=6，
解得t₁=4-

2

，t₂=4+

2

（不合題意舍去），
P點坐標為（2

2

，4）；
當4＜t＜8時，OQ=8-t．
S=

1

2

×4（8-t）=6，
解得t=5，
P點坐標為（2，4）．
綜上所述，P點坐標為（4-2

2

，4）；（2

2

，4）；（2，4）．
故答案為：5．

點評：考查了相似形綜合題，涉及的知識點有：正方形的面積，三角形面積，二次函數(shù)的最值，分類思想的運用，（3）問的難度較大．